ピトーの定理

概要

ピトーの定理は、幾何学の中でも特に「円に外接する四角形」、つまり内接円を持つ四角形に関する基本的な定理です。この定理は、特定の図形が持つ興味深い性質を明らかにします。定理の名前は、18世紀のフランスの著名な工学者であるアンリ・ピトーに敬意を表して名付けられました。彼は単に工学分野だけでなく、数学、特に幾何学においても重要な貢献を残しました。

定理の内容

ピトーの定理が述べている核心的な内容は、円に外接するどのような四角形においても、向かい合う一組の対辺の長さの和と、もう一組の対辺の長さの和が必ず等しくなる、というものです。例えば、四角形の辺の長さをそれぞれ `a, b, c, d` とした場合、`a` と `c`、そして `b` と `d` がそれぞれ対辺の関係にあるとすると、`a + c = b + d` が常に成り立ちます。この等しい和は、四角形の周長のちょうど半分、すなわち半周長に等しい値となります。この性質は、四角形が円に外接するための必要十分条件の一部をなす、非常に強力な特徴です。

証明の考え方

この定理の証明は、中学校で学ぶような幾何学の基本的な性質を利用することで比較的容易に行えます。証明の鍵となるのは、「ある円の外部にある一点からその円に引いた二本の接線の長さは常に等しい」という性質です。

円に外接する四角形を考えてみましょう。この四角形の各頂点は、内接円の外部にある点と見なせます。そして、四角形の各辺は、その内接円に対する接線の一部となっています。四角形の各頂点から内接円に引かれた二本の接線の長さが等しいという性質を四つの頂点すべてに適用すると、四角形のそれぞれの辺が、内接円との接点によって二つの線分に分割され、隣り合う辺におけるそれぞれの頂点からの接線部分の長さが等しくなることがわかります。

具体的には、四角形の四つの頂点を順にA, B, C, Dとし、辺AB, BC, CD, DAが内接円と接する点をそれぞれP, Q, R, Sとします。このとき、点Aから引いた接線APとASの長さは等しくなります（AP=AS）。同様に、点BからはBP=BQ、点CからはCR=CQ、点DからはDS=DRが成り立ちます。

四角形の辺の長さは、これらの接線部分の長さの和として表せます。例えば、辺ABの長さはAP + PB、辺BCはBQ + QC、辺CDはCR + RD、辺DAはDS + SAです。

ここで、対辺の和を考えてみます。
AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD)
BC + DA = (BQ + QC) + (DS + SA)

右辺に接線部分の等しい関係（AP=AS, PB=BQ, CQ=CR, DR=DS）を代入すると、
AB + CD = (AS + BQ) + (CQ + DS)
BC + DA = (BQ + CR) + (DS + SA)

これらの式を見ると、AB + CD の和は AS, BQ, CQ, DS という四つの線分の長さの和であり、BC + DA の和も BQ, CR(=CQ), DS, AS という同じ四つの線分の長さの和であることがわかります。したがって、AB + CD = BC + DA が成り立ちます。これがピトーの定理の証明の基本的な考え方です。

定理の逆

ピトーの定理には重要な逆が存在します。「2組の対辺の長さの和が等しい凸な四角形は、必ず内接円を持つ」という命題も真であることが証明されています。つまり、四角形が円に外接するための必要十分条件の一つが、この対辺の長さの和が等しいという性質なのです。この逆の定理は、与えられた四角形が内接円を持つかどうかを判断するための強力な基準となります。

歴史的背景

ピトーの定理は、1725年にフランスの工学者アンリ・ピトー（Henri Pitot, 1695-1771）によって初めて証明されました。彼の名前は、流体の速度を測定するピトー管にも残っており、工学分野での功績も広く知られています。幾何学におけるこの定理は、彼の数学への関心を示すものです。

定理の逆が真であることは、ずっと後の時代になってから証明されました。スイスの著名な数学者であるヤコブ・シュタイナー（Jakob Steiner, 1794-1863）が、1846年にこの逆の定理の証明を完成させました。ピトーの定理とその逆は、四角形の内接円に関する完全な特性記述を提供し、幾何学の重要な一部となっています。

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