フレーゲの定理

フレーゲの定理についての解説

フレーゲの定理（Frege's theorem）は、算術の公理が二階述語論理に基づき、ヒュームの原理から導出されることを示す重要な定理です。最初にゴットロープ・フレーゲによって1884年に発表された『算術の基礎』において証明され、その後、1893年と1903年に出版された二巻本『算術の基本法則』で詳細に証明されました。この定理は、1980年代前半にクリスピン・ライトによって再発見され、現在においても数学の哲学における重要なしテーマとなっています。

定理の内容と背景

フレーゲは、その著作の中で論理的に正しい公理からすべての算術法則を導こうとしました。彼の目指したのは、算術的な真実を基礎的な論理から構築する「論理主義」と呼ばれる数学の哲学の実現です。彼が提唱した公理の多くは、『概念記法』から引き継がれましたが、フレーゲ自身は新しい法則もいくつか提示しました。特に、原理Ⅴと呼ばれる重要な概念が存在し、この原理は無制限の内包公理として知られています。この原理は、ある関数の値域が他の関数の値域に等しいことと、それらの関数の出力が等しいことが同値であることを示しています。

しかし、この原理は後に論理命題としての成立が認められず、ラッセルのパラドックスにより、彼の提唱したシステムは内在的に矛盾していることが指摘されました。このため、フレーゲの基礎的法則が持つ矛盾性は、彼の業績に影を落としました。とはいえエドワード・ザルタは、フレーゲの基本法則には「二階述語論理における無矛盾な算術の基本命題の正当な証明の重要な段階が含まれている」と述べ、フレーゲの theorem の重要性を再度確認しました。

命題論理におけるフレーゲの定理

この定理における命題論理の部分は、基本的な論理の枠組みの中でも相当に弱い形式を示しています。具体的には、フレーゲの定理は次の恒真式として表現できます。実際、命題論理において証明の過程は、BHK解釈によって解釈され、全ての証明がどのように展開されるかを詳しく説明しています。これによって、ある前提が真である場合に結果がどう導かれるかが示されます。

このように、フレーゲの定理は、論理的構造を使用して、どのように命題が統一的に成り立つかを理論的に示す重要な指標となりました。特に、両方の前提から帰結が施される方法論的アプローチが強調されています。フレーゲの定理は、数学の基本的な命題を表現するための有効な手段を提供しており、その重要性は現代の数理論理学においても影響を与え続けています。

特別な場合

通常、論理学においては否定を表す記号を用いて、特定の条件を明示的に示すことが一般的です。フレーゲの定理は、否定導入の原則の一形態とも関連しており、その形式を介して論理的な帰結を導く手段としても認識されています。これは、特に論理的推論を扱う上で、私たちが用いる直感的な形式の一部として利用されます。

このように、フレーゲの定理はその発表以来、数理論理の分野における礎となり、数学の哲学における重要な議論の素材として位置づけられています。

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