フールマン三角形

フールマン三角形

フールマン三角形（フールマンさんかくけい、英: Fuhrmann triangle）は、19世紀のドイツの幾何学者ヴィルヘルム・フールマン（1833年-1904年）に敬意を表して名付けられた、三角形に関連する特別な図形です。

定義と構成

基準となる三角形を△ABCとします。まず、この三角形の外接円を考えます。外接円上には、各辺BC, CA, ABに対応する2つの円弧が存在します。フールマン三角形の構成には、各頂点A, B, Cを含まない方の円弧の中点を用います。

具体的には、円弧BC（Aを含まない側）、円弧CA（Bを含まない側）、円弧AB（Cを含まない側）の各中点をそれぞれMa, Mb, Mcとします。

次に、これらの3つの中点Ma, Mb, Mcを、それぞれ対応する辺（Maは辺BC、Mbは辺CA、Mcは辺AB）に関して鏡映します。鏡映して得られた点をそれぞれM'a, M'b, M'cとします。

このようにして得られた3点M'a, M'b, M'cを結んでできる三角形△M'aM'bM'cがフールマン三角形です。

フールマン円

フールマン三角形△M'aM'bM'cの外接円は、フールマン円と呼ばれます。フールマン円は、基準となる三角形△ABCの幾何学的性質と密接に関連しています。

性質

フールマン三角形はいくつかの興味深い幾何学的性質を持ちます。

相似関係: フールマン三角形△M'aM'bM'cは、弧の中点によって作られる三角形△MaMbMcと逆向きに相似です。つまり、△MaMbMc ～ △M'aM'bM'c という相似関係が成り立ちますが、頂点の向きが逆になります。

面積: フールマン三角形△M'aM'bM'cの面積は、基準三角形△ABCの幾何学的要素を用いて以下のように表現できます。

面積 = s |OI|^2 / (2 R)

この公式は、外心と内心の距離に関するオイラーの定理 |OI|^2 = R(R-2r) を用いると、次のように書き換えられます。

面積 = s (R - 2 r) / 2

ここで s は基準三角形の半周長、R は外接円半径、r は内接円半径、O は外心、I は内心、|OI| は外心と内心の距離です。

辺の長さ: フールマン三角形の各辺の長さも、基準三角形の性質を用いて表現できます。

辺 a'（点M'bとM'cを結ぶ辺の長さ）は以下の公式で与えられます。

a' = 2 sqrt( s (s - a) / (b c) ) |OI|
または
a' = sqrt( a (s - a) (R - 2 r) / r )

辺 b'（点M'aとM'cを結ぶ辺の長さ）は

b' = 2 sqrt( s (s - b) / (a c) ) |OI|
または
b' = sqrt( b (s - b) (R - 2 r) / r )

辺 c'（点M'aとM'bを結ぶ辺の長さ）は

c' = 2 sqrt( s (s - c) / (a b) ) |OI|
または
c' = sqrt( c (s - c) (R - 2 r) / r )

ここで a, b, c はそれぞれ基準三角形△ABCの辺BC, CA, ABの長さです。

一般化

フールマン三角形の概念は、基準三角形△ABCと任意の点Pを用いる形に一般化できます。

点Pに対する擬調和三角形の頂点を、対応する辺に関して鏡映することで得られる三角形をPフールマン三角形（P-Fuhrmann triangle）と呼びます。

このPフールマン三角形は、点Pの擬調和三角形と逆向きに相似になります。また、Pフールマン三角形の外接円は、Pフールマン円またはPヘギー円として知られています。

特に、点Pとして基準三角形の内心Iを選んだ場合、これが通常のフールマン三角形およびフールマン円の定義に一致します。これは、内心Iの擬調和三角形が、外接円の弧の中点△MaMbMcになるためです。

このように、フールマン三角形は三角形の幾何学において、特定の点や円との関係を示す重要な図形の一つです。

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