プラソロフ点

プラソロフ点（Prasolov point）

プラソロフ点とは、ユークリッド幾何学において、与えられた三角形に対して一意に定まる特別な点であり、「三角形の中心」と呼ばれる重要な点の一つです。クラーク・キンバーリング氏が編纂した「Encyclopedia of Triangle Centers」においては、X(68)という番号で登録されています。この点の名称は、ロシアの著名な数学者であるヴィクトル・ヴァシーリエヴィッチ・プラソロフ氏に由来します。彼の著書「Задачи по планиметрии」（平面幾何学の問題集）の中で、この点が持つ性質や存在が証明されたことにちなんで名付けられました。

定義

プラソロフ点は、二つの特定の三角形の間の配景の中心として定義されます。具体的な構成手順は以下の通りです。

1. まず、基準となる三角形△ABCを考えます。
2. 次に、△ABCの垂足三角形△HaHbHcを特定します。ここで、Haは頂点Aから対辺BCに下ろした垂線の足、Hbは頂点Bから対辺CAに下ろした垂線の足、Hcは頂点Cから対辺ABに下ろした垂線の足です。
3. △ABCの九点円の中心Nを求めます。九点円は、垂足の3点Ha, Hb, Hcを含む特別な円です。
4. 垂足三角形の各頂点Ha, Hb, Hcを、九点円の中心Nに関して鏡映（点対称移動）させます。これにより得られる点をそれぞれH'a, H'b, H'cとします。これらの3点を頂点とする△H'aH'bH'cは、しばしば第二オイラー三角形と呼ばれます。
5. 最後に、元の三角形△ABCと、鏡映によって得られた△H'aH'bH'cの間の配景の中心を求めます。これは、対応する頂点を結んだ直線、すなわち直線AH'a、直線BH'b、直線CH'cが一点で交わるその交点を指します。この交点こそが、プラソロフ点です。

このように、プラソロフ点は幾何学的な構成に基づいて厳密に定義される点です。

性質

プラソロフ点は、その定義以外にも様々な興味深い幾何学的性質を持っています。代表的なものを以下に挙げます。

円の根心としての性質: 垂足点Ha, Hb, Hcをそれぞれ中心とし、かつそれぞれ元の三角形の対応する頂点A, B, Cを通るような三つの円を考えます。これらの三つの円の根心（Radical center）は、プラソロフ点に一致します。根心とは、二つの円の根軸が交わる点であり、三つ以上の円に対しては、どの二つの円の根軸も一点で交わるその点を指します。
別の配景の中心としての性質: △DEFを、△ABCの外心の擬調和三角形とします。さらに、この△DEFの頂点D, E, Fをそれぞれ元の三角形の辺BC, CA, ABに関して鏡映させた点をD', E', F'とします。△D'E'F'は外心フールマン三角形として知られています。このとき、元の三角形△ABCと外心フールマン三角形△D'E'F'の配景の中心もまた、プラソロフ点に一致します。
共線性: プラソロフ点は、九点円の中心（X(5)）および類似重心（X(6)）と共線です。すなわち、これら三つの点は常に同一線上に並んでいます。この線は、オイラー線とは異なる線ですが、三角形の中心間の重要な関係性を示しています。
等角共役性: △ABCの垂足三角形の垂足三角形（二重垂足三角形）を考えます。この二重垂足三角形と元の三角形△ABCとの配景の中心は、クラーク・キンバーリングのリストでX(24)として知られる点です。プラソロフ点は、この点X(24)に関する等角共役点です。点X(24)は、三角形の重要な直線であるオイラー線上に位置しています。
* 特定の曲線上の位置: プラソロフ点は、三角形の主要な幾何学的曲線の一つであるジェラベク双曲線上に存在します。ジェラベク双曲線は、外心、重心、垂心、九点円中心など、多くの著名な三角形の中心を通る特別な双曲線です。

重心座標

三角形△ABCに対するプラソロフ点の重心座標は、角A, B, Cを用いて以下のようにシンプルに表されます。

$$ \tan 2A : \tan 2B : \tan 2C $$

ただし、ここでA, B, Cはそれぞれ頂点A, B, Cにおける内角の大きさをラジアン単位で表すものとします。この座標表示は、プラソロフ点が三角形の内角と密接に関連していることを示唆しています。

プラソロフ点は、このように複数の定義や豊富な幾何学的性質を持つ、興味深い三角形の中心の一つです。その研究は、現代の三角形幾何学における活発な分野の一部を形成しています。

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