ジェラベク双曲線

ジェラベク双曲線

ジェラベク双曲線（英: Jerabek hyperbola）は、三角形の幾何学分野における重要な円錐曲線の一つであり、19世紀末から20世紀初頭にかけて活躍したチェコの数学者、ヴァーツラフ・ジェラベクにその名を冠しています。この双曲線は、与えられた三角形の幾何学的な特性と密接に関連しており、特に以下の主要な点を含むことで知られています。

三角形の3つの頂点
三角形の外心（外接円の中心）
三角形の垂心（各頂点から対辺に下ろした垂線の交点）

また、ジェラベク双曲線は、三角形のオイラー線（外心、重心、垂心を通る直線）上の任意の点について、その等角共役点全体の軌跡としても定義される興味深い性質を持ちます。

双曲線上にある他の主要な点

ジェラベク双曲線が通過する点は多岐にわたります。基本となる3つの頂点、外心、垂心の他、幾何学における数多くの特別な中心点（Triangle Centers）を通過します。Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) において特定の番号で登録されている点も多く含まれます。

類似重心 (X6)：三角形の重心の等角共役です。
コスニタ点 (X54)：九点円の中心（X5）の等角共役です。
X64：ド・ロンシャン点（X20）の等角共役です。
接触三角形の垂心 (X65)：シフラー点（X21）の等角共役としても知られます。
プラソロフ点 (X68)：垂心三角形の垂心三角形と元の三角形の配景の中心（X24）の等角共役です。
逆補三角形の類似重心 (X69)：接線三角形と垂心三角形の相似の中心（X25）の等角共役です。

これらの点を含め、ジェラベク双曲線は三角形に付随する多数の幾何学的に重要な点を通過する特別な曲線であることがわかります。

双曲線の中心 (Jerabek center, X125)

ジェラベク双曲線の中心は、ETCにおいてX125として登録されています。この点の正確な位置は、三角形の角A, B, Cを用いて、以下の三線座標(x:y:z)で与えられます。

$$(x:y:z) = \cos A\sin^2(B-C) : \cos B\sin^2(C-A) : \cos C\sin^2(A-B)$$

この中心は幾つかの重要な性質を持っています。

九点円上にある：中心X125は、三角形の九点円（またはフォイエルバッハ円）上に位置します。これは、三角形の頂点と垂心を通る全ての直角双曲線の中心が九点円上にあるという、ポンスレ束に関連する一般的な性質の一つです。
X110との関係：キーペルト放物線の焦点（X110）を、三角形の重心を中心として-1/2倍に拡大した点、すなわちX110の補点と一致します。
共線性：三角形の重心（X2）、タリ―点（X99）、キーペルト放物線の焦点（X110）、そしてジェラベク双曲線の中心（X125）は、常に同一線上に並びます。

双曲線の三線座標表示

ジェラベク双曲線上の点(x : y : z)は、三角形の辺の長さa, b, cと角A, B, Cを用いて、以下の三線座標による方程式を満たします。

$$\frac{a(\sin 2B - \sin 2C)}{x} + \frac{b(\sin 2C - \sin 2A)}{y} + \frac{c(\sin 2A - \sin 2B)}{z} = 0$$

外接円との第四交点 (X74)

ジェラベク双曲線は、三角形の外接円とも興味深い交点を持ちます。双曲線と円は最大4つの交点を持ち得ますが、ジェラベク双曲線は三角形の3つの頂点を通過するため、これらとは異なる4番目の交点が存在します。この第四交点は、ETCにおいてX74として登録されており、その位置は以下の三線座標で与えられます。

$$(x:y:z) = \frac{1}{\cos A - 2\cos B\cos C} : \frac{1}{\cos B - 2\cos C\cos A} : \frac{1}{\cos C - 2\cos A\cos B}$$

この第四交点X74も、幾つかの注目すべき幾何学的性質を持ちます。

オイラー無限遠点の等角共役：オイラー線上にある無限遠点の等角共役点です。
中心X125との関係：点X74と三角形の垂心の中点が、ジェラベク双曲線の中心X125と一致します。
ノイベルグ三次曲線上：ノイベルグ三次曲線として知られる別の有名な幾何学的曲線上にも位置します。
X110の対蹠点：外接円に関して、キーペルト放物線の焦点X110とちょうど反対側にある対蹠点です。
共線性：ド・ロンシャン点（X20）、プラソロフ点（X68）、そして外接円との第四交点X74は、常に同一線上に並びます。

ジェラベク双曲線は、これらの性質を通じて、三角形の様々な中心点、直線、および曲線との深い関連性を示す、三角形幾何学における重要な研究対象となっています。

関連する曲線

三角形に付随する他の有名な円錐曲線として、

キーペルト双曲線
* フォイエルバッハ双曲線

などが挙げられます。これらはいずれも、三角形の外接円錐曲線として分類される特別な曲線です。

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