ベクトルの共変性と反変性

共変性と反変性

共変性（covariance）と反変性（contravariance）は、ベクトル空間や物理学において、基準となる「基底」を別の基底に変換した際に、対象（例えばベクトルや線型汎関数）の「成分表示」がどのように変化するかを示す重要な概念です。

概念の導入：スケール変換を例に

共変性と反変性の違いを理解するために、最も単純な基底変換である「スケール変換」、つまり単位の変更を考えてみましょう。例えば、長さの単位を[メートル]から[センチメートル]に変える場合、基準となる長さの単位は1/100になります。このとき、ある物体の「長さの値」はどうなるでしょうか？ 1メートルは100センチメートルなので、長さの値は100倍になります。

同様に、速度ベクトルなどの成分も、基準の単位（長さの単位）を1/100にすれば、値は100倍になります。このように、基準の変更方向（1/100倍）とは逆の方向に、成分の値が変化する性質を「反変性」と呼びます。

一方、勾配のように空間的な微分によって定義される量（次元が長さの逆数を含む）を考えます。この量の成分は、基準の単位（長さの単位）を1/100にすれば、値も1/100になります。基準の変更方向と同じ方向に、成分の値が変化する性質を「共変性」と呼びます。

一般的な基底変換における定義

より一般的な基底の変換、つまり互いに線型独立なベクトルの組である基底fから別の基底f'へ変更する場合を考えます。基底f'は、基底fを構成するベクトルをある行列Aを用いて線型結合することで得られます。

反変変換
ベクトルそのものは基底の選び方によらず同じ対象を指し示す（不変である）必要があります。この不変性を保つためには、ベクトルの「成分」は基底の変化を「打ち消す」ように変換されなければなりません。
具体的には、新しい基底f'でのベクトル成分は、元の基底fでの成分に、基底を変換する行列Aの「逆行列」を作用させて得られます。成分が基底変換行列の逆行列に従って変換される性質を「反変性」と言います。反変的な成分を持つ量としては、位置ベクトル、速度、加速度など、私たちが直感的に考える多くのベクトル量が挙げられます。アインシュタインの縮約記法では、反変成分は通常、上付き添字で表されます。
概念的には、基底の矢印が「f → f'」と変わるのに対し、成分の矢印は「成分[f] ← 成分[f']」と逆方向を向くイメージで捉えられます。

共変変換
線型汎関数（ベクトル空間上の線型写像で、スカラー値を返す関数。双対ベクトルや余ベクトルとも呼ばれます）のような対象も、基底の選び方によらず同じ対象を指す必要があります。この場合、線型汎関数の「成分」は、基底の変化と「同じ方向」に変換される必要があります。
具体的には、新しい基底f'での線型汎関数の成分は、元の基底fでの成分に、基底を変換する行列A「自身」を作用させて得られます。成分が基底変換行列自身に従って変換される性質を「共変性」と言います。共変的な成分を持つ量としては、関数の勾配などが代表的です。共変成分は通常、下付き添字で表されます。
概念的には、基底の矢印が「f → f'」と変わるのに対し、成分の矢印も「成分[f] → 成分[f']」と同じ方向を向くイメージで捉えられます。

重要性と応用

共変性と反変性の区別は、物理学や幾何学において、特に曲線座標系（円筒座標や球座標など）を扱う際に極めて重要になります。座標系の変更に伴ってベクトルの成分表示がどのように変化するかを正確に理解するためには、この概念が不可欠です。また、この言葉は1853年にジェームス・ジョセフ・シルベスターによって代数的な不変式論の研究の中で導入されました。不変式論においては、ある種の多項式の係数が変数変換に対して反変的に振る舞うことが知られています。

多重線型代数におけるテンソルは、共変的な性質と反変的な性質の両方、あるいは一方のみを持つ対象として定義されます。より抽象的な数学分野である圏論においては、「関手」の概念の特別な例として共変性・反変性が現れることもあります。

これらの概念は、単なる数学的な定義に留まらず、物理法則がどのような座標系を選んでも同じ形式で記述されるべきであるという「座標不変性」の考え方を理解する上での基盤となります。

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