ベート数

ベート数とは

数学の集合論において、ベート数とは無限基数の特定の列を指し、ヘブライ文字の「ב」（ベート）を用いて表記されます。この列は、
\( ℶ_0, ℶ_1, ℶ_2, ℶ_3, \,... \) のように表され、特に\( ℶ_0 \)から始まります。ベート数は，アレフ数（\( ℵ_0, ℵ_1, ℵ_2, ... \)）と深い関係がありますが、一般連続体仮説が成り立たない場合、アレフ数として表現されるがベート数としては扱えない数が存在する点も注目です。

ベート数の定義

ベート数は以下のルールに基づいて定義されます：

1. \( ℶ_0 = ℵ_0 \)
- これは最初のベート数で、任意の可算無限集合、特に自然数の集合の濃度に等しいです。
2. \( ℶ_{α + 1} = 2^{ℶ_α} \)
- これは、いわゆる冪数の定義で、たとえば、\( ℶ_1 \)は自然数の冪集合の濃度と同等です。
3. \( ℶ_{λ} = sup\{ ℶ_α : α < λ \} \)
- ここで、\( λ \)は極限順序数です。

順序数と濃度

ここで、\( α \)は順序数、\( λ \)は極限順序数を指します。たとえば、基数\( ℶ_0 = ℵ_0 \)は自然数全体の濃度を示し、したがって\( ℶ_0 = |ℕ| \)と表されます。

さらに、任意の濃度\( A_α \)に対し、冪集合\( P(A_α) \)はその所有する全ての部分集合の集合として定義されます。

ベート数の具体例

ベート・ヌル (ℶ_0)

この数は\( ℵ_0 \)と同義で、具体的には次のような集合がここに含まれます：

• - 自然数全体\( \,ℕ \)
• - 有理数全体\( \,ℚ \)
• - 整数から成る有限集合

ベート・ワン (ℶ_1)

濃度が\( ℶ_1 \)の集合には、無理数や実数全体\( \,ℝ \)などが含まれます。

ベート・ツー (ℶ_2)

この数は、実数集合の冪集合の濃度、または自然数全体の集合の冪集合の冪集合が該当します。

アレフ数との関係

選択公理が成立する場合、無限濃度は全て比較可能です。これにより、\( ℵ_0 \)と\( ℵ_1 \)の間に無限濃度は存在せず、\( ℶ_1 ≥ ℵ_1 \)が成立します。全ての順序数に対してこの関係が成り立ちます。

連続体仮説

連続体仮説は、具体的には\( ℶ_1 = ℵ_1 \)が成り立つことを示します。この仮説が真であれば、ベート数の列はアレフ数と一致することになります。

結論

ベート数は集合論において無限基数の重要な側面を表しており、アレフ数と強い関連性を持っています。ベート数の理解は、集合の濃度や無限に関連する問題を解明する上で不可欠です。より高度な集合論での応用や、理論的な深みについての理解を深めるための礎を提供します。

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