ホイーラー・ドウィット方程式

ホイーラー・ドウィット方程式

ホイーラー・ドウィット方程式（Wheeler-DeWitt equation、略称: WDW方程式）は、理論物理学者のジョン・ホイーラーおよびブライス・ドウィットによって提唱された、量子重力理論における宇宙の波動関数に関する方程式です。この方程式は、量子重力理論を構築するための重要な指針とされていますが、いくつかの問題点も抱えています。

概要

WDW方程式の導入には、いくつかの重要な考慮事項がありました。その中でも特に指摘されるのが、方程式が時間を変数として含んでいない点や、意味のない解が無数に得られるという数学的な欠陥です。数式で表すと、次のように示されます。

$$
\hat{H}|\psi\rangle = 0
$$

ここで、\( \hat{H} \) は、量子化された一般相対性理論における全ハミルトニアンを示しており、\( |\psi\rangle \) は波動関数です。この方程式は、宇宙全体の物理的情報がどのように結びついているかを記述しようとする試みの一環です。特に、ハートル・ホーキング状態という波動関数の例が挙げられます。

シュレーディンガー方程式との相違

WDW方程式に用いられる記号は、シュレーディンガー方程式からおなじみのものですが、実際の意味は大きく異なります。ここでの波動関数\( |\psi\rangle \)は、従来の意味での空間的な波動関数ではなく、宇宙全体に関する場の配位を定義する汎関数です。この波動関数には、宇宙の幾何学やその中に存在する物質に関するすべての情報が含まれています。

一方、ハミルトニアン\( \hat{H} \)は波動関数のヒルベルト空間に作用する演算子であるものの、一般的な非相対論的量子力学のヒルベルト空間とは異なります。WDW方程式の中では、ハミルトニアンは物理系の時間発展を決定づける役割を果たさず、したがってシュレーディンガー方程式は適用されません。

一般相対性理論との関係

さらに、一般相対性理論においては、一般共変性原理が示すように、大局的な時間の発展というものは存在しないと解釈されます。時間は単なるラベルに過ぎず、物理系の動きはゲージ変換として扱われます。この考え方は、量子電磁力学における局所時間の役割と類似しています。

このように、WDW方程式は全宇宙の運動学的状態を物理的状態の空間に制約する役割を果たします。このような拘束条件は「ハミルトニアン拘束」とも呼ばれています。

まとめ

ホイーラー・ドウィット方程式は量子重力理論の発展において重要な位置を占めていますが、時間を含まないことや無意味な解が存在することなど、解決すべき課題も多く残されています。この方程式を理解することは、宇宙の本質を探るうえでの重要なステップと言えるでしょう。今後の研究によって、それに対する新たな解決策や理解が得られることを期待しています。

もう一度検索