ホモトピー群

序論

ホモトピー群は、数学の一分野である代数トポロジーにおいて中心的な役割を果たす概念です。位相空間、つまり連続的な変形を許容する図形のような対象の性質を調べるために用いられます。特に、空間の「形」や内部にある「穴」といった大域的な特徴を、代数的な構造である「群」に対応させることで解析可能にします。これにより、群論で培われた強力な手法や知見を位相空間の研究に応用することが可能となります。

基本的な考え方と定義

ホモトピー群の最も基本的な例は、1次ホモトピー群、あるいは基本群と呼ばれるものです。これは空間内に描かれたループ（始点と終点が一致する閉じた道）を考え、これらのループを空間内で連続的に変形できるかどうかで分類した同値類の集まりに群の構造を入れたものです。基本群は空間の「1次元の穴」に関する情報を提供します。

さらに一般に、n次ホモトピー群 $\pi_n(X)$ は、調べたい空間 $X$ の「n次元の穴」を捉えるために定義されます。厳密には、特定の基点を持つn次元球面 $S^n$ から空間 $X$ への、基点を保つ連続写像を考えます。これらの写像を空間 $X$ の中で連続的に変形（ホモトピー）できるかどうかで同値類に分けます。この同値類の集合が、空間 $X$ のn次ホモトピー群 $\pi_n(X)$ を構成します。

写像の連続変形は、一方の写像から他方の写像へ時間を通じて滑らかに移行するイメージです。ホモトピー群における群演算は、n次元立方体の特定の面に沿って写像を「貼り合わせる」ことで定義されます。nが1以上のとき、この集合は群の構造を持ちます。特に、nが2以上のとき、ホモトピー群はアーベル群（可換な群）となることが知られています。これは、高次元では写像の変形をより自由に操作できることに由来します。

位相不変量としての重要性

ホモトピー群は位相不変量です。これは、同相な（位相的に同じ形とみなせる）2つの空間は、同じホモトピー群を持つという性質を意味します。したがって、もし2つの空間のホモトピー群のいずれか一つでも異なっていれば、その2つの空間は同相ではないと結論づけることができます。これは、位相空間を分類し、区別する上で非常に強力なツールとなります。

例えば、ドーナツの表面のようなトーラス $T$ と、ボールの表面のような球面 $S^2$ を考えてみましょう。直感的には、トーラスには「穴」がありますが、球面にはありません。ホモトピー群を用いると、この違いを代数的に捉えることができます。

- トーラス $T$ の1次ホモトピー群は $\pi_1(T) \cong \mathbb{Z}^2$ であることが知られています。これは、トーラスの「穴」を通るループの巻きつき方を2方向で考えることで理解できます。
- 一方、球面 $S^2$ の1次ホモトピー群は $\pi_1(S^2) = 0$ です。これは、球面上の任意のループが、一点に連続的に縮めることができることを意味します。

これらの1次ホモトピー群が異なるため、トーラスと球面は同相ではないことが分かります。このように、ホモトピー群は空間の大域的な構造、特に穴の有無やその種類に関する情報を提供します。

計算の難しさと手法

ホモトピー群の計算は、特異ホモロジー群やコホモロジー群のような他の代数トポロジーにおける不変量の計算と比較して、一般にはるかに難しいことが知られています。空間を単純な部分に分解して計算するような、基本的な手法（例えば、ザイフェルト–ファン・カンペンの定理のような単純な類似）はホモトピー群に対しては存在しません。

しかし、ホモトピー群を計算するための様々な高度な手法が開発されています。その一つに、ファイブレーションと呼ばれる特別な写像に伴って現れる「長完全列」があります。これは、関連する三つの空間（全空間、底空間、ファイバー）のホモトピー群の間に成り立つ関係式であり、未知のホモトピー群を既知のものから導く手がかりを与えます。他にも、ホモトピー群とホモロジー群を結びつけるフレヴィッツの定理や、懸垂定理のような重要な定理が計算に用いられます。

特定の空間、例えばトーラスや高次元空間などでは、2次以上のホモトピー群が全て自明になる（群の単位元のみからなる）場合があります（このような空間をasphericalと呼びます）。しかし、最も基本的な空間の一つである球面のホモトピー群は、計算が極めて難しく、特に高次のホモトピー群については、その完全なリストは現在でも完全に解明されていません。2次元球面 $S^2$ の高次ホモトピー群の計算でさえ、非常に洗練された数学的手法（例えばセールのスペクトル系列など）を必要とします。

ホモトピー群