ホモロジー (数学)

ホモロジー

ホモロジーは、数学の多様な対象（位相空間、群、代数構造など）にアーベル群または加群の系列を対応させるための一般的な枠組みです。これは、対象が内在的に持つ構造的性質、例えば位相空間における「穴」の存在や代数系の特定の関係性を、代数的な言葉で記述し分析することを可能にします。「ホモロジー」という名前は、ギリシャ語で「同一であること」を意味する言葉に由来しており、対象の「同じ」構造を代数的に捉えようとする試みを反映しています。代数的位相幾何学において、ホモロジー群はしばしばホモトピー群よりも容易に計算でき、空間を分類する上で非常に有効な道具となります。

より詳しい背景についてはホモロジー論を、位相空間への応用としては特異ホモロジーを、群については群コホモロジーをそれぞれ参照できます。

ホモロジー群の構成

ホモロジー群を定義するための標準的な手順は以下の通りです。まず、対象 `X` の情報を抽出したチェイン複体 `C(X)` を構成します。チェイン複体とは、アーベル群や加群の系列 `... → C_n → C_{n-1} → ... → C_1 → C_0 → 0` であり、隣り合う群の間には境界作用素と呼ばれる群準同型 `∂_n: C_n → C_{n_{}-1}` が定められています。この境界作用素は、任意の `n` について `∂_n ∘ ∂_{n+1} = 0` という重要な性質を満たします。これは、`C_n` の要素を `∂_{n+1}` で送ってからさらに `∂_n` で送ると必ずゼロになることを意味し、像 `im(∂_{n+1})` が核 `ker(∂_n)` に含まれるという関係を示します。

ここで、`ker(∂_n)` はサイクル群 `Z_n(X)`、`im(∂_{n+1})` はバウンダリ群 `B_n(X)` と呼ばれます。`B_n(X)` は `Z_n(X)` の部分群であり、ホモロジー群 `H_n(X)` は、サイクル群をバウンダリ群で割った剰余群 `H_n(X) = Z_n(X) / B_n(X)` として定義されます。ホモロジー群の要素はホモロジー類と呼ばれます。この構成は、チェイン複体が「どれだけ完全系列からずれているか」を測るものと解釈できます。なぜなら、チェイン複体が完全系列であることと、すべてのホモロジー群がゼロであることは同値だからです。

形式的には、矢印の向きを逆にしたコチェイン複体から同様の手順でコホモロジー群が定義されます。

応用例

ホモロジーは数学の様々な分野に応用されます。代数的位相幾何学では、単体複体や任意の位相空間に対して単体的ホモロジーや特異ホモロジーが定義され、空間が持つ「穴」の構造を代数的に捉えることができます。例えば、体上の加群を用いたホモロジー群の次元は、その次元の「穴」の数を反映します。

抽象代数学においては、ホモロジーの考え方を用いて導来関手が構成されます。これは、特定の性質を持つ関手に対して、その性質が成り立たない度合いを測る代数的な道具であり、Tor関手などがその代表例です。

主な性質

ホモロジー理論にはいくつかの重要な性質があります。

オイラー標数との関係: 有限個を除いて成分がゼロで、かつ有限生成アーベル群または有限次元ベクトル空間からなるチェイン複体について、そのオイラー標数はチェイン群の階数（または次元）の交代和 `∑ (-1)ⁿ rank(A_n)` とホモロジー群の階数（または次元）の交代和 `∑ (-1)ⁿ rank(H_n)` が等しくなります。これは特に代数的位相幾何学において、空間の重要な不変量を計算する二通りの方法を提供します。

長完全列: チェイン複体の短完全列 `0 → A → B → C → 0` は、ホモロジー群の長完全列 `... → H_n(A) → H_n(B) → H_n(C) → H_{n-1}(A) → ...` を誘導します。この長完全列は、異なる対象のホモロジー群の間の関係性を示す強力なツールであり、特に蛇の補題と呼ばれる技法を用いて構成される連結準同型によって各次元のホモロジー群がつながっています。

歴史的背景

ホモロジーのアイデアは、19世紀の数学者たちの幾何学的対象の連結性に関する探求に遡ります。

リーマン (1851, 1857): 曲面の連結度を、それを単連結な領域に分解するために必要な切断の数として定義しました。ここには、後にホモロジーの構成原理となる「切断」や「境界」の概念が萌芽的に含まれています。また、閉曲線が領域の境界となるかという考察は、サイクルのなす群をバウンダリのなす群で割るというアイデアの原型と見なせます。

ベッチ (1863, 1871): リーマンのアイデアを高次元空間に拡張し、空間を単連結にするための切断回数や、部分空間の境界にならない部分空間の最大数として高次元の連結度を提唱しました。これが後のベッチ数につながる概念です。

ポアンカレ (1895): その記念碑的な論文「位置解析」（Analysis Situs）の中で、多様体の部分多様体の形式和にホモロジー的な同値関係を導入し、これを基礎に多様体の連結度の新しい定義を与え、ベッチ数と呼びました。彼はベッチ数は考えていましたが、ホモロジー群そのものはまだ明確には捉えていませんでした。

ネーター (1925-1932頃): エミー・ネーターが、ベッチ数やねじれ係数が本質的にはアーベル群の不変量であることを見抜き、ホモロジー群という概念を明確に定式化しました。これにより、研究の主眼をホモロジー群に置くべきだと強調されたと伝えられています。アレクサンドロフやホップといった当時の主要な位相幾何学者の著作を通じて、ホモロジー群の概念は広く普及しました。

* ヴィートリス、マイヤー (1925-1928): 同時期に独立してホモロジー理論の発展に貢献しました。

ホモロジー群の概念の登場と急速な普及により、分野名は「組合せ位相幾何学」から「代数的位相幾何学」へと変化し、数学の研究対象はより抽象的で統一的な視点へと発展していきました。

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