円周群

円周群：単位円上の数学的構造

数学において、円周群（英: circle group）とは、絶対値が1である複素数全体の集合が乗法によってなす群です。複素平面上の単位円と同一視でき、幾何学的直感と代数的構造を併せ持つ重要な数学的対象です。

定義と基本性質

円周群は通常、ℂで表されます。これは、絶対値が1である複素数zの集合として定義されます。つまり、

ℂ = {z ∈ ℂ | |z| = 1}

この集合は、複素数の乗法に関して閉じているため、群を形成します。単位元は1であり、各元zの逆元はz⁻¹=1/z = ζです。さらに、複素数の乗法は可換であるため、円周群はアーベル群です。

円周群は、複素1次ユニタリ行列全体のなす群U(1)と同一視できます。これは、複素数平面上の原点中心の回転を表していると言えます。

位相構造とリー群

円周群は単なる代数的な群ではなく、複素平面の部分空間としての自然な位相を持ちます。乗法と逆元演算は連続写像であるため、円周群は位相群の構造を持ちます。さらに、単位円は複素平面の閉集合であることから、円周群はℂ×の閉部分群となります。

円周群は1次元実多様体であり、乗法と逆元演算は実解析的写像であるため、リー群の構造も持ちます。実際、これは同型を除いて唯一の1次元コンパクト連結リー群です。より一般的に、任意のn次元コンパクト連結可換リー群はn次元トーラスTnと同型となります。

位相群としての同型

円周群は、様々な数学的対象と同型です。特に重要な同型関係には以下があります。

ℂ ≅ U(1) ≅ ℝ/ℤ ≅ SO(2)

ここで、U(1)は1次ユニタリ群、ℝ/ℤは実数から整数による剰余群、SO(2)は2次特殊直交群です。これらの同型は、円周群の多様な解釈を可能にします。

例えば、U(1)との同型は、円周群を複素1次ユニタリ行列と同一視することを意味します。ℝ/ℤとの同型は、円周群を、実数直線を2πの周期で同一視したものと考えることを意味します。SO(2)との同型は、円周群を平面上の回転と同一視することを意味します。

指数写像と表現

指数写像θ → e^(iθ) = cosθ + i sinθは、実数から円周群への全射準同型写像を与えます。これは角度θを複素数平面上の点に対応させる写像であり、複素数の乗法は角度の和に対応しています。この指数写像の核は2πの整数倍全体の集合であり、第一同型定理よりℂ ≅ ℝ/2πℤ が得られます。角度のスケール変換により、ℂ ≅ ℝ/ℤ も同様に示せます。

円周群の既約複素表現は、シューアの補題により全て1次元であり、n∈ℤに対して、φ_n(e^(iθ)) = e^(inθ) の形で与えられます。これらの表現は、円周群上の指標であり、指標群は無限巡回群ℤと同型です。

コンパクトリー群としての性質

次元が0より大きい任意のコンパクトリー群は、円周群と同型な部分群を含みます。これは、コンパクト対称変換群が、一径数円周群の作用を含むことを意味します。円周群の真の閉部分群は、1の冪根からなる部分群に限られます。

抽象群構造

位相構造を無視した純粋な代数的群としての円周群の構造も興味深いものです。円周群は可除群であり、そのねじれ部分群はQ/ℤと同型です。可除群の構造定理を用いることで、円周群がℝとQ/ℤの直和と同型であることが示せます。

まとめ

円周群は、幾何学、解析、代数の様々な側面を結びつける重要な数学的対象です。その単純な定義とは裏腹に、豊かな構造と広範な応用可能性を持つことから、数学の様々な分野で重要な役割を果たしています。

もう一度検索