リッチフロー

リッチフローとは

リッチフロー（Ricci flow）は、微分幾何学における幾何学的フローの一種であり、リーマン多様体の計量を滑らかに変形させる過程を記述します。この変形は、熱伝導方程式に似た形式で行われ、多様体の曲率を時間とともに変化させます。グレゴリオ・リッチ＝クルバストロにちなんで名付けられ、リチャード・ハミルトンによって導入されました。

リッチフローは、グリゴリー・ペレルマンによってポアンカレ予想の証明に用いられたことで有名です。また、サイモン・ブレンデルとリチャード・シェーンによる微分可能球面定理の証明にも貢献しました。

数学的定義

計量テンソル $g_{ij}$ を持つリーマン多様体を考えます。このとき、リッチテンソル $R_{ij}$ は、リーマン曲率テンソルの「トレース」であり、断面曲率の平均値を表します。

リッチフローは、この計量テンソルとリッチテンソルの関係を、時間 $t$ （物理的な時間とは限りません）を媒介変数として、以下の幾何学的発展方程式で定義します。

$$
\frac{\partial}{\partial t} g_{ij} = -2R_{ij}
$$

この式は、時間経過に伴う計量テンソルの変化が、リッチテンソルによって決定されることを示しています。

また、コンパクト多様体に対しては、正規化されたリッチフローが用いられます。

$$
\frac{\partial}{\partial t} g_{ij} = -2R_{ij} + \frac{2}{n}R_{\mathrm{avg}}g_{ij}
$$

ここで、$R_{\mathrm{avg}}$ はスカラー曲率テンソルの平均値であり、$n$ は多様体の次元です。正規化されたリッチフローは、体積形式を保存します。

時間の変数 $t$ を別の実数に置き換えることもできますが、負号は、リッチフローが小さな正の時間に対して定義できることを保証します。負号を反転させると、リッチフローは負の小さな時間に対して定義できることが多いです。

非公式には、リッチフローは、多様体の負に曲がった領域を膨張させ、正に曲がった領域を収縮させる傾向があります。

例

ユークリッド空間またはリッチ平坦な多様体: リッチフローは計量を不変に保ちます。逆に、リッチフローで不変な計量はリッチ平坦です。
球面: リッチフローは、有限時間内に多様体を一点に収縮させます。例えば、半径1のn次元球面は、時間 $1/2(n-1)$ 後に収縮します。
アインシュタイン多様体: リッチフローは、正の曲率の場合は多様体を一点に収縮させ、0の場合は不変に保ち、負の場合は膨張させます。
コンパクトアインシュタイン多様体: 正規化されたリッチフローの下で計量が不変です。逆に、正規化されたリッチフローで不変な計量はアインシュタイン計量です。

一般にリッチフローは全時間連続ではなく、特異点を生み出します。ペレルマンは、リッチフローの手術を用いて特異点を過去に連続させる方法を示しました。

シガーソリトン解

2次元の重要な例として、シガーソリトン解があります。これは、ユークリッド平面上の計量として表現されます。

$$
\frac{dx^2 + dy^2}{e^{4t} + x^2 + y^2}
$$

この計量はリッチフローの下で収縮しますが、その幾何学的な形状は不変のままです。このような解を安定リッチソリトンと呼びます。3次元の例としては、ブライアントソリトンがあります。

一意化定理、幾何化予想との関係

リチャード・ハミルトンは、リッチフローを滑らかな3次元多様体の位相分類に関連するウィリアム・サーストンの幾何化予想を研究するために導入しました。

ハミルトンのアイデアは、計量にある特別な「良い」性質を持たせるために、与えられた多様体上の任意の計量を発展させるというものでした。この特別な計量は、多様体の標準的な形を構成する可能性があります。サーストンは、この標準的な形を3次元球面S3、3次元ユークリッド空間E3、3次元双曲空間H3などと特定しました。

リッチフローは、これらの特別な計量を不動点として振る舞わせることを目指しており、与えられた多様体は、大域的には唯一のサーストンの幾何学に収束するはずであるという考えです。

正のリッチ曲率を持つ計量が存在する滑らかな3次元閉多様体は、サーストンの幾何学を一つだけ持ちます。このとき、リッチフローの特異点は体積を保存するように正規化されます。ただし、負のリッチ曲率を持つ多様体の場合が最も難しく、幾何化予想全体の証明には至っていません。

一意化定理の証明は、リッチフローが2次元多様体を双曲平面または穴の開いたトーラスに発展させることを示し、ハミルトンのリッチフローが負の曲率を持つ2次元多様体から双曲平面と局所同値な 2-次元の多数の穴の開いたトーラスへ発展するという滑らかな 2次元多様体の分類に似ています。

規格化と幾何化

規格化とは、幾何学における特異な性質を滑らかに取り除く方法を示唆しており、幾何化とは、滑らかな多様体上の幾何学を示唆しています。幾何学はフェリックス・クラインのエルランゲンプログラムに似た方法を使います。リッチフローは体積を保存しないため、規格化や幾何化に適用する際には、体積を保存するように正規化する必要があります。そうしないと、多様体のサイズが縮小してしまいます。

拡散との関係

リッチフローが非線形拡散方程式である理由を理解するために、2次元多様体の特別な場合を考えてみましょう。2次元多様体の任意の計量テンソルは、等温座標では次のように記述できます。

$$
ds^2 = \exp(2p(x, y))(dx^2 + dy^2)
$$

ここで、$p(x, y)$ は関数です。リーマン多様体のリッチテンソルやラプラス・ベルトラミ作用素を計算するために、エリー・カルタンの微分形式の方法を使います。

$$
\sigma^1 = \exp(p)dx, \quad \sigma^2 = \exp(p)dy
$$

すると、計量テンソルは

$$
\sigma^1 \otimes \sigma^1 + \sigma^2 \otimes \sigma^2 = \exp(2p)(dx \otimes dx + dy \otimes dy)
$$

となります。このとき、

$$
\frac{\partial p}{\partial t} = \Delta p
$$

が得られ、これは熱方程式

$$
\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u
$$

と類似していることがわかります。しかし、リッチフローは $p$ に依存するラプラス・ベルトラミ作用素を使用するため、非線形性を持つことに注意が必要です。

参考文献

Brendle, Simon (2010). Ricci Flow and the Sphere Theorem. American Mathematical Society.
Bruce Kleiner; John Lott (2006). "Notes on Perelman's papers". arXiv:math.DG/0605667。
Cao, Huai-Dong; Xi-Ping Zhu (June 2006). “A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures - application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow”. Asian Journal of Mathematics 10 (2)。
Morgan; Gang Tian (2006). "Ricci Flow and the Poincare Conjecture". arXiv:math.DG/0607607。
Anderson, Michael T. Geometrization of 3-manifolds via the Ricci flow, Notices AMS 51 (2004) 184–193.
John Milnor, Towards the Poincaré Conjecture and the classification of 3-manifolds, Notices AMS. 50 (2003) 1226–1233.
John Morgan, Recent progress on the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds, Bull. AMS 42 (2005) 57–78.
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Richard Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature, J. Diff. Geom 17 (1982), 255–306.
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Bakas, I. (2005). “The algebraic structure of geometric flows in two dimensions”. Journal of High Energy Physics 2005: 038. arXiv:hep-th/0507284. doi:10.1088/1126-6708/2005/10/038。
Peter Topping (2006). Lectures on the Ricci flow. C.U.P..
Tao, T. (2008). “Ricci flow”. In Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre. The Princeton Companion to Mathematics.
Weeks, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds. New York: Marcel Dekker.

外部リンク

Isenberg, James A. “Ricci Flow” (video). Brady Haran.

関連項目

応用
一意化定理
幾何化予想
ポアンカレ予想の解決
微分球面定理
一般的な脈絡
リッチ曲率
変分の計算
幾何学的フロー
* 非ホロノミック系

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