幾何化予想

幾何化予想とは

幾何化予想は、1982年にアメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって提唱された、3次元多様体の構造に関する重要な命題です。この予想は「コンパクトな3次元多様体は、特定の幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解できる」というもので、位相幾何学と微分幾何学を結びつける役割を果たします。この予想は、ミレニアム懸賞問題の一つにも挙げられていたポアンカレ予想の解決にも深く関わっています。

2003年、ロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンが、リッチフローという手法を用いてこの予想を証明しました。この証明により、約100年間未解決だった3次元ポアンカレ予想も解決されることになりました。

幾何化予想の背景

2[[次元]]多様体の場合、ユークリッド構造、ロバチェフスキー構造、リーマン構造の3つの幾何構造が存在し、全ての2[[次元]]多様体はいずれかの構造を持つことが知られていました。しかし、3次元多様体は自由度が高く、一般的には自然な幾何構造を持たせることが難しいと考えられていました。

サーストンは、3次元多様体に対する新しい幾何構造を定義し、それが8種類存在することを示しました。これらの幾何構造は、2[[次元]]にも存在する3つの構造に加え、球面に円筒や双曲面を掛け合わせた構造、そして特殊なリー群構造を持つものを含んでいます。幾何化予想は、全ての3次元多様体がこれらの幾何構造を持つ部分多様体に分解できると主張します。

微分幾何学からのアプローチ

この予想の解決には、リチャード・S・ハミルトンが導入したリッチフローという偏微分方程式が大きな役割を果たしました。リッチフローは、もともと熱伝導を記述するために考案されたものですが、多様体の曲率を表すツールとしても活用されました。

ハミルトンは、どんな滑らかな多様体でもリッチフローを持つことを証明しましたが、リッチフローには特異点という計算不可能な点が現れるという問題がありました。彼は、いくつかの特異点を解消することに成功しましたが、最終的な解決はペレルマンの登場を待つことになりました。

幾何化予想の概要

幾何化予想は、閉じた3次元多様体の分類を目的としたプログラムとして提案されました。3次元多様体を基本的なブロックに分解し、各ブロックの幾何構造を特定することを目指します。この予想は、ポアンカレ予想を一般化したものでもあり、ペレルマンがポアンカレ予想を証明する際にも利用されました。

3次元多様体とは

3次元多様体とは、局所的には3次元ユークリッド空間のように見える位相空間のことです。しかし、3次元多様体全体を3次元空間の部分集合として捉えることはできません。これは、2[[次元]]の球面が局所的には平面に見えるものの、全体としては平面に埋め込めないことと同様です。

3次元多様体の研究では、位相幾何学と微分幾何学の手法を組み合わせることができます。この分野は、3次元幾何学または3次元トポロジーと呼ばれています。この分野の目標は、閉じた3次元多様体全体を分類し、理解することです。

基本モデルへの分解

3次元多様体は、埋め込まれた2[[次元]]球面に沿って切り開くことで、より単純な成分に分解できます。この操作を繰り返すと、既約な成分に到達します。既約成分とは、それ以上分解できない成分のことです。また、S2×S1の形の既約成分は、有限群である基本群を持つ場合、それ以上分解できません。

他の成分は、アトロイダルかザイフェルトファイバー多様体になるまでトーラスに沿って分解できます。この分解をJSJ分解といいます。この分解を逆にたどると、全ての3次元多様体を再構成できます。つまり、3次元多様体の分類は、JSJ分解の基本ブロックを理解すれば十分です。

幾何学的モデル

サーストンが言う「基本モデル」とは、どの点でもその近傍が同じ幾何構造を持つ抽象的な空間のことです。具体的には、完備で単連結なリーマン多様体Xで、等長写像G=Isom(X)を持つものです。閉多様体の幾何学は、さらに、この幾何学を持つコンパクト多様体である必要があります。つまり、部分群H⊂Gが存在し、X/Hがコンパクトであることが要求されます。

2[[次元]]モデル

2[[次元]]の場合、幾何学的モデルは、ユークリッド平面、2[[次元]]球面、双曲平面の3つに分類されます。これらの空間は、どこでも同じように見えるため、全ての点で等しく曲がっている必要があります。2[[次元]]では、曲率が一つしかないので、定数スカラー曲率で分類すると、0, 1, -1の3つ以外には存在しないことがわかります。

3次元モデル

3次元の場合、定数の断面曲率を持つモデルとして、ユークリッド空間、3次元球面、双曲空間が存在します。しかし、3次元ではスカラー曲率だけでは局所領域の形状を決定できないため、さらに以下のモデルが必要になります。

• - 2[[次元]]球面と直線の積：S2×R
• - 双曲平面と直線の積：H2×R

さらに、以下のリー群の構造を持つ幾何学モデルが存在します。

• - SL~(2,R)の幾何構造
• - Nil-幾何構造
• - Sol-幾何構造

これらの8つの幾何構造が、3次元多様体の基本モデルとなります。

サーストンの幾何化

多様体を分解した結果、局所的に8つのモデルのいずれかに対応する計量を選ぶことができることを、多様体の幾何化と呼びます。サーストンは、3次元多様体の研究を行い、多くの多様体が幾何化可能であることを発見しました。

彼はハーケン多様体でこのことを示し、フィールズ賞を受賞しました。そして、全ての閉じた3次元多様体が幾何化可能であろうと予想しました。これがサーストンの幾何化予想です。

幾何化の重要性

3次元多様体が8つの幾何学モデルのいずれかに帰着できることは、3次元多様体のトポロジーに重要な結論をもたらします。多様体は双曲的、球面的、ザイフェルトファイバー構造を持つことがあり、ザイフェルト多様体のトポロジーはよく理解されています。

幾何化により、以下の3つの条件のいずれかに一致することがわかります。

1. 球面の計量を持つ
2. 双曲的な計量を持つ
3. 基本群がZ×Zの部分群となっている

現在、球面的な多様体と双曲的な多様体の分類は完全ではありませんが、その性質の多くは理解されています。

幾何化予想から、楕円化予想（球面化予想）と双曲化予想が導かれます。

• - 楕円化予想： 有限群を自己同型群として持つ閉3次元多様体は、球面計量を持ち、3次元球面の商空間である。
• - 双曲化予想： 無限群を自己同型群として持つ閉3次元多様体は、双曲型か、基本群がZ×Zに同型な部分群を持つ。

また、幾何化予想の特別な場合として、ポアンカレ予想があります。

• - ポアンカレ予想： 自明な基本群を持つ閉3次元多様体は、3次元球面に同相である。

予想の状況

2[[次元]]の閉多様体の幾何化は古くから知られています。リチャード・S・ハミルトンは、リッチフローを使って幾何化予想を証明しようと試みましたが、特異点の制御が課題でした。

グリゴリー・ペレルマンは、特異点を制御する方法を発見し、幾何化予想の証明に大きく貢献しました。彼の論文はまだ正式な雑誌には掲載されていませんが、多くの数学者がその正しさを認めています。ペレルマンは、この業績によりフィールズ賞を受賞しましたが、受賞を辞退しています。

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