リー代数の表現

リー代数の表現について

表現論は数学の一分野であり、特にリー代数の表現は、その構造を行列として定義する手法です。リー代数の表現は、リーブラケットの特性を保持しながら、対象をベクトル空間上で扱います。これにより、リー群の表現に関する洞察を得ることができます。リー代数の表現は、対応するリー群の微分形態と考えることができ、普遍的な被覆によって刺激される重要な気づきがあります。

公式な定義

リー代数  extfrak{g} の表現は、それ自身のベクトル空間  extfrak{gl}(V) に対する準同型 
ho: extfrak{g} o extfrak{gl}(V)  として表現され、

$$
ho[x,y] = [
ho(x),
ho(y)]$$

が成り立ちます。ここで、$
ho(x)$は extfrak{gl}(V)の元にマッピングされ、交換子はリーブラケットとして機能します。これにより、 V を、 extfrak{g}-加群 と呼ぶことができます。ここで、忠実な表現とは、直射性を持つものを指します。

表現の具体例

特に、リー代数の随伴表現は基礎的な例の一つです。随伴表現は、

$$ ext{ad}: ext{g} o ext{gl}( ext{g}), ext{ad}(x)(y) = [x,y] $$

として定義され、リー代数が持つ自己作用を映し出します。この表現は、ヤコビの恒等式に従ってリー代数の準同型となります。

無限小リー群の表現

リー代数の表現は、リー群の準同型に基づいて自然に現れます。例えば、適切なリー群の準同型が与えられたとき、リー代数間での微分が ext{d} hetaを形成し、リー代数の準同型が得られます。様々な代数の理論や幾何学的視点と結びつきます。

重要な概念

リー代数  V 、 W  はそれぞれ  extfrak{g} -加群 である場合、線形写像は同変性を持つときに extfrak{g}-線型と定義されます。

リー代数の表現論は、他の代数学の理論、部分加群や商などの関連する構造と深く結びついています。特に、半単純リー代数の性質は、表現が持つ特定の条件や特性に基づいて分類されます。これにより、さまざまな線形構造や抽象的な変換を探索し、数学の理論における新たな洞察を得ます。

包絡代数と誘導表現

リー代数に関連する重要な概念の一つに、普遍包絡代数があります。この代数は、リー代数の表現と1対1に対応し、構造を築くための基本的な枠組みを提供します。特に、誘導表現は部分代数から全体へ表現を引き上げる手法であり、加群の圏を変換する完全函手の特性を持ちます。

表現論におけるこれらの概念は、様々な応用があるとともに、理論的な側面でも深い関連性を持っています。特に、半単純リー代数の構造や、ウェイト系に基づく分類は、代数学と幾何学の交差点に位置し、さらなる研究や探求を促します。

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