リー微分

リー微分 (Lie derivative)

数学におけるリー微分は、多様体 $M$ 上のテンソル場全体の成す多元環上に定義される微分の一種です。ソフス・リーにちなんで名づけられました。$M$ 上のリー微分全体の成すベクトル空間は、リー括弧積

$$[{\mathcal {L}}_{A},{\mathcal {L}}_{B}]={\mathcal {L}}_{A}{\mathcal {L}}_{B}-{\mathcal {L}}_{B}{\mathcal {L}}_{A}$$

について無限次元のリー環を成します。リー微分は $M$ 上の流れ（flow; フロー、active な微分同相写像）の無限小生成作用素としてベクトル場によって表されます。別の言い方をすれば、リー群論の方法の直接の類似物であり、$M$ 上の微分同相写像全体の成す群は付随するリー環構造を持ちます（これはリー微分全体のなすリー環のことです）。

定義

リー微分はいくつかの等価な方法で定義できます。ここではまず、スカラー関数とベクトル場に作用するリー微分から定義し、後述するように一般のテンソル空間への作用として定義します。

関数のリー微分

多様体 $M$ 上で与えられた可微分関数 $f: M \rightarrow R$ および $M$ 上のベクトル場 $X$ に対して、点 $p \in M$ における $f$ のリー微分は

$$({\mathcal {L}}_{X}f)(p) = \lim_{t \to 0} \frac{f(\gamma(t)) - f(p)}{t}$$

によって定義されます。ここで $\gamma(t)$ は、$X$ によって生成される積分曲線であり、$\gamma(0) = p$ を満たします。これは通常の意味での微分の言葉で言えば、関数 $f$ のベクトル場 $X$ に沿った微分を改めて $X$ の定めるリー微分と呼んでいることになります。多様体 $M$ の接束と余接束の間の自然な双対性内積として

$$({\mathcal {L}}_{X}f)(p) = df(p)[X(p)]$$

と言い直すことができます。ここに $df: M \rightarrow T^M$ は $f$ の全微分であり、

$$df = \frac{\partial f}{\partial x^a} dx^a$$

で与えられる1次微分形式です（右辺は $a$ に関する和であり、アインシュタインの縮約記法を用いました）。したがって $df(p)[X(p)]$ は $M$ 上の点 $p$ における $f$ の微分 $df$ とベクトル場 $X$ との自然な双対性を表す内積であると理解できます。実際、$X$ を $x^a$ 座標系において

$$X = X^a \frac{\partial}{\partial x^a}$$

と表せば、

$$df(p)[X(p)] = \frac{\partial f}{\partial x^a} X^a$$

を得ます。

ベクトル場のリー微分

2つのベクトル場 $X$ と $Y$ のリー括弧積 $[X,Y]$ を定義することで、ベクトル場に対するリー微分も定義することができます。ベクトル場 $Y$ の $X$ に関するリー微分は、リー括弧積 $[X,Y]$ に等しいものとして

$${\mathcal {L}}_{X}Y = [X,Y]$$

と定義されます。

リー括弧積の定義として、ベクトル場 $X$ と $Y$ の局所座標表示を用いたものがあります。$x^a$ を $M$ 上の座標とするとき、接束の基底ベクトルは通常 $\partial/\partial x^a$ と記されます。$M$ 上のベクトル場はこの基底に関する座標を与えて

$$X = X^a \frac{\partial}{\partial x^a}, \quad Y = Y^a \frac{\partial}{\partial x^a}$$

のように表示されます。そして、二つのベクトル場の組 $X, Y$ に対して、そのリー括弧積 $[X,Y]$ は

$$[X,Y] = (X^b \frac{\partial Y^a}{\partial x^b} - Y^b \frac{\partial X^a}{\partial x^b}) \frac{\partial}{\partial x^a}$$

によって与えられるベクトル場と定義されます。

微分形式のリー微分

リー微分は、微分形式に対しても定義することができます。この文脈でのリー微分は外微分と近い関係にあり、リー微分と外微分はともに異なる方法で一つの同じ微分概念を捉える試みであると考えられます。

$M$ を多様体、$X$ を $M$ 上のベクトル場とする。$\omega \in \Lambda^{k+1}(M)$ を $M$ 上の $k + 1$ 次微分形式とする。$\omega$ に対し、$X$ による内部積 $i_X\omega$ は

$$(i_X \omega)(X_1, ..., X_k) = \omega(X, X_1, ..., X_k)$$

によって定義されます。このとき、$i_X$ は $\Lambda$-反微分になります。

テンソル場のリー微分

多様体 $M$ 上の $(p, q)$-階可微分テンソル場 $T$ と可微分ベクトル場 $Y$ が与えられたとき、テンソル場 $T$ のベクトル場 $Y$ に沿った微分が定義されます。

$\phi: M \times R \rightarrow M$ をベクトル場 $Y$ のベクトルフローが誘導する $M$ 上の局所微分同相全体のなす 1-径数部分半群とし、$\phi_t(p) := \phi(p, t)$ と記します。このとき、テンソル場 $T$ のリー微分は、各点 $p$ において

$$({\mathcal {L}}_{Y}T)_p = \lim_{t \to 0} \frac{(\phi_t^ T)_p - T_p}{t}$$

と置くことによって定義されます。

性質

リー微分は多くの性質を持ちます。$K$ を実数または複素数全体の成す体とし、$K(M)$ を多様体 $M$ 上の $K$-値関数全体の成す多元環とすると、リー微分

$${\mathcal {L}}_{X}: K(M) \rightarrow K(M)$$

は関数環 $K(M)$ 上の導分（微分作用素）、つまり積の微分法則

$${\mathcal {L}}_{X}(fg) = ({\mathcal {L}}_{X}f)g + f({\mathcal {L}}_{X}g)$$

を満たす $K$-線型写像です。また同様に $X(M)$ を $M$ 上のベクトル場全体の成す集合とすれば、リー微分は

$${\mathcal {L}}_{X}(fY) = ({\mathcal {L}}_{X}f)Y + f{\mathcal {L}}_{X}Y$$

を満たすから、$K(M) \times X(M)$ 上の微分とも見なせます。

一般化

リー微分のさまざまな一般化は微分幾何学において重要な役割を果たします。

ナイエンハイス-リー微分

ナイエンハイスによる一般化では、反変テンソル場に沿った微分形式のリー微分を許します。反変テンソル場 $K$ と $p$-次微分形式 $\alpha$ に対して、これらの内部積 $i_K \alpha$ が定義できることを用い、ナイエンハイス-リー微分は内部積と外微分の反交換子

$${\mathcal {L}}_{K} \alpha = i_K d\alpha - (-1)^k d i_K \alpha$$

として定義されます。

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