リー群の表現

リー群の表現に関する概要

リー群の表現は、数学や理論物理学において連続対称性の研究において必須のコンセプトです。具体的には、リー群の表現はその無限小のリー代数表現に直結しており、この関係性が物理学のさまざまな分野において適用されます。特に、物理文献ではリー群とリー代数の表現の違いを明確にしないことがあるため、しっかりとした理解が求められます。

有限次元複素ベクトル空間上の表現

最初に、有限次元複素ベクトル空間上でのリー群 G の表現について考察します。リー群 G が有限次元の複素ベクトル空間 V 上で作用する場合、これは V の自己同型群への滑らかな群準同型として表現されます。ここで、n次元のベクトル空間 V の自己同型群は、n × n の複素行列と一対一で対応し、それは滑らかな多様体の性質を持つことが知られています。この形式の表現では、基底が選択されるとGは一般線型群 GL(n, C) への準同型として記述でき、これは行列の形で表現されることが多いです。

任意の体上の有限次元ベクトル空間への表現

任意の体 K 上に定義された有限次元のベクトル空間 V においても、G の表現は同様に定義されます。この場合、基底が選択されることで、G の準同型として一般線型群 GL(n, K) にマッピングされることが可能です。もし任意のベクトル空間 V と W に対する G の表現が同じ基底を通じて同一の行列で表される場合、これを同値な表現と呼びます。

リー代数の観点から見ると、リー群 G のリー代数は、End(V) への線形写像を介して関連し、これによりリー代数の表現が導かれます。特に、準同型が単射である場合にはその表現が忠実であるとされます。

ヒルベルト空間における表現

次に、リー群 G の複素ヒルベルト空間 V 上の表現について考えます。ここでの表現は、G から B(V) への群準同型 Ψ:G → B(V) として定義され、有界な逆作用素を持つ線形作用素の群として表現されます。特に、これらは量子力学の文脈でも応用されています。

例えば、G=R とした場合、ヒルベルト空間の例として L²(R) を用いることができます。この場合、Ψ は L²(R) 内の関数を特定の変換を通じて操作する方法として構成されます。

分類理論

リー群 G が半単純な場合、有限次元表現はその既約表現の直和に分解されます。ここでは、最高ウェイトの概念が重要であり、特に基本ウェイトの集合が存在し、それに基づく理論が展開されます。これにより既約表現の指標を求めるためのワイル指標公式が導入されます。

特定の例と関連項目

例えば有限体 Fq 上のリー型有限群 G では、指定された構造によってさまざまな群が形成されることがあります。これらは実際に数学的な模型として広く使用されています。

最後に、ローレンツ群の表現論やホップ代数の表現論といった関連領域についても言及できます。

参考文献

• - Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation Theory. A First Course.
• - Hall, Brian C. (2003). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction.
• - Knapp, Anthony W. (2002). Lie Groups Beyond an Introduction.
• - Rossmann, Wulf (2001). Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups.

これらの文献は、リー群の表現に関するさらなる理解を促進するための基礎資料となるでしょう。

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