群の表現

群の表現について

群の表現は、数学の中でも特に群論において重要な概念の一つです。群 G の各元 g に対して、それを線形空間 V 上の線形変換に対応付けることで、抽象的な群の性質を具体的な形で利用できるようにします。具体的には、群 G の元 g に対する線形変換 T(g) を定義し、次の条件を満たす必要があります。

$$T(gh) = T(g)T(h)$$

この関係から、群の元を正則な線形変換として表現する写像 T: G → GL(V) が得られます。これにより、群 G の表現は、線形空間 V の使用を通じて、その構造や性質を深く理解する手助けとなります。

表現空間と表現行列

表現空間 V の基底を選択することで、T(g) を具象的な正方行列として記述することが可能です。この場合、群 G に対する表現は正則行列の群 GLn への準同型寫像として捉えることができます。行列 T(g) は、g に対する表現行列と呼ばれ、このようにして得られる行列の集まりは、群 G の表現行列と呼ばれます。

群の表現はまた、加群の枠組みでも捉えられます。この見方を強調するために、表現空間が群環 CG 上の表現加群と見なされることがあります。特に、T(g)v を g ⋅ v または gv と表すことが一般的です。

同値な表現

群 G 内の二つの表現 (T1, V) と (T2, W) がある場合、線型同型 S: V → W が存在し、全ての元 g に対して相似変換の関係が成り立てば、T1 と T2 は同値であると言います。これは本質的に同じ表現であることを示しています。この同値性の条件は、図式で示すと次のようになります。

$$egin{array}{ccc}V & {
ightarrow} & V\ ↓ & & ↓ \ W & {
ightarrow} & W \\ T_1(g) & & T_2(g) \\ ext{(g が群 G の元)} ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } \\ ext{} & & ext{} ext{} ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } \\ ext{} & & T_2(g) ext{ }. \\ ext{全単射でない変換を絡作用素と呼びます} ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } \\ ext{} ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{} ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } \\ ext{} ext{} ext{} ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } \\ ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } \\ ext{ } ext{ } ext{ }))↑ ext{ 及び (g が群 G の元)}\ ext{群の元が違えば行列も写像で示されます。} ext{ } \\end{array}$$

特別な表現

群の表現にはいくつかの特別な例も存在します。恒等変換を全元に対応させる恒等表現や、線型変換が単射の場合の忠実表現などです。既約表現は、表現空間が自身と零ベクトル空間以外に不変な部分空間を持たないときを指します。一方で、既約でないものを可約といいます。さらに、複素数体上の有限群の言を用いると、既約表現の数が共役類の数と一致することが確認されます。

量子力学における応用

量子力学にも群の表現は深く結びついており、特にハミルトニアンがある変換群の不変性を持つ場合、その固有状態は群のユニタリ表現として考えることができます。これにより、群 G の既約なユニタリ表現を知ることで、ハミルトニアンの固有状態を分類することが可能となり、物理学における多くの問題に応用されています。

このように、群の表現は数学だけではなく、物理学のさまざまな領域でも重要な役割を果たしています。

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