ロジスティック分布

ロジスティック分布

ロジスティック分布は、統計学における連続確率分布の一種であり、その累積分布関数がロジスティック関数によって表されるという特徴を持ちます。この分布は、正規分布としばしば比較されます。確率密度関数は釣鐘型で類似していますが、ロジスティック分布は正規分布よりも裾が長く、平均から離れた場所でも確率密度が比較的高いという性質があります。

定義

確率変数 $x$ が実数であるとき、ロジスティック分布は以下の累積分布関数 $F(x; \mu, s)$ で定義されます。


$ F(x; \mu, s) = \frac{1}{1 + e^{-(x - \mu)/s}} = \frac{1}{2} \left\{ \tanh \left( \frac{x - \mu}{2s} \right) + 1 \right\} $

ここで、$ \mu $ は位置母数、$ s $ は尺度母数です。

また、確率密度関数 $f(x; \mu, s)$ は以下のようになります。

$ f(x; \mu, s) = \frac{\exp(-(x - \mu)/s)}{s(1 + \exp(-(x - \mu)/s))^{2}} $

性質

ロジスティック分布は、以下の重要な性質を持っています。

期待値: $ \mu $
分散: $ \frac{\pi^{2}s^{2}}{3} $
歪度: 0 (平均 $ \mu $ を中心に左右対称)
尖度: 6/5 = 1.2

歪度は0であるため、ロジスティック分布は平均に関して対称です。尖度は1.2であり、正規分布の尖度3と比較すると、ロジスティック分布の方が裾が重い（裾が厚い）ことがわかります。

正規分布との比較

ロジスティック分布と正規分布は、どちらも対称なS字型の累積分布関数と釣鐘型の確率密度関数を持つ点で類似しています。しかし、ロジスティック分布は正規分布よりも裾が長く、外れ値の影響を受けやすいという違いがあります。そのため、外れ値が多く含まれるデータに対しては、ロジスティック分布の方がより適切なモデルとなる場合があります。

応用

ロジスティック分布は、生存時間分析、ロジスティック回帰、ニューラルネットワークなど、さまざまな分野で応用されています。

参考文献

蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

関連項目

確率分布

外部リンク

朱鷺の杜Wiki
* GSL reference manual Japanese version

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