中心 (代数学)

代数学における中心の概念

代数学は数学の一分野であり、様々な構造を扱います。その中で「中心」という概念は非常に重要です。中心とは、特定の代数的構造において、その構造の元すべてと交換可能な元の集合を指します。ここでは、群、環、リー代数における中心の詳細な理解を深めていきます。

群の中心

群$G$の中心は、次のように定義されます。中心$Z(G)$は、群$G$の元$z$であって、任意の元$g ext{ in } G$に対して$gz = zg$を満たすものの集合です。すなわち、$Z(G) = igl\{ z ext{ in } G igm| orall g ext{ in } G: gz = zg igr\
brace$. この特性により、$Z(G)$は部分群であるといえます。

群の元$x$と$y$が中心に属する場合、任意の元$g ext{ in } G$について、次のように計算できます。

$$(xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy).$$

このことから、$xy$も中心に属し、また元$x$の逆元$x^{-1}$も中心に含まれます。单位元$e$は常に中心に含まれるという特性があります。

群の中心はまた、アーベル群であり、正規部分群としても位置づけられます。さらに、中心は特性部分群でもあり、自己同型によって不変です。

環の中心

環$R$の中心は、すべての元と交換可能な元で構成される集合です。つまり、$Z(R) = igl\{ z ext{ in } R igm| za = az ext{ for all } a ext{ in } R igr\}$.この中心はまた、$R$の可換な部分環として機能します。環$R$とその中心が等しいことは、環が可換であることと同値です。

結合多元環の中心

結合多元環$A$における中心もまた、可換な部分多元環として定義されます。すなわち、$Z(A) = igl\{ z ext{ in } A igm| za = az ext{ for all } a ext{ in } A igr\}$.この性質から、多元環も中心と等しいことが可換性を示す条件となります。

リー代数の中心

リー代数$ ext{g}$の中心は、可換なイデアルです。これを形式的に表すと、$z( ext{g}) = igl\{ z ext{ in } ext{g} igm| [x,z] = 0 ext{ for all } x ext{ in } ext{g} igr\}$.ここで、$[ullet,ullet]$はブラケット積を表します。リー代数がその中心に等しいことは可換であることと同値です。

具体例

群の中心について考えると、3次対称群$S_3$の中心は単位元だけから成り立っています。なぜなら、群の元同士の乗法を行うと、交換可能でない組み合わせがあるためです。二面体群$D_4$には、中心として$0^ ext{°}$と$180^ ext{°}$の回転が含まれます。また、可逆$n imes n$行列の中心は単位行列の実数倍でまとめられます。

まとめ

代数学における中心は、群や環、リー代数において、元同士が交換可能である特性を持つ部分集合です。この中心の性質は数学の多くの側面において重要な役割を果たしており、構造の理解や解析において欠かせない構成要素となっています。

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