群の中心

群 G の中心 Z(G) について

群 G の中心、あるいは核心と呼ばれる Z(G) は、群 G の全ての元と可換な元全体の集合です。数学記号で表すと、次のようになります。

$$
Z(G) = \{ z \in G \mid zg = gz \quad (\forall g \in G) \}
$$

この中心は G の部分群であり、明らかにアーベル群です。つまり、G のすべての元と可換な元からなるため、自身の内部でも可換性が保たれます。この Z(G) は常に正規部分群としての性質をもちますが、常に完全特性的であるとは限りません。また、剰余群 $G/Z(G)$ は G の内部自己同型群に同型であることが知られています。

群 G がアーベル群であるための必要十分条件は、Z(G) が G に等しいことです。反対に、Z(G) が自明な場合、すなわち単位元のみを含む場合、群 G は中心を持たない、つまり中心レスです。このような元はしばしば「中心的」と呼ばれることがあります。

Z(G) の部分群としての特性

Z(G) が G の部分群である理由はいくつかあります。まず、Z(G) には必ず単位元 e が含まれます。なぜなら、単位元 e は任意の元 g に対して可換性を持つ（$eg = g = ge$）ためです。次に、Z(G) の元の積についても閉じています。つまり、もし x, y が Z(G) の元であれば、任意の g に対して z を以下のように表すことができ、その結果から z もまた Z(G) に属することが確認できます。

$$
(xy)g = x(yg) = g(xy)
$$

また、Z(G) の元 x の逆元 x⁻¹ も Z(G) に含まれます。このことは、x が Z(G) の元であれば $gx = xg$ より、左右から x⁻¹ を掛けることによって得られる形で示されます。

共軛と自己同型

群 G から G の自己同型群 Aut(G) への写像 f: G → Aut(G) を次のように定めます:

$$
f(g) = \phi_g, \quad \phi_g(h) = ghg^{-1}.
$$

この写像は群準同型を与え、その核は G の中心 Z(G) になります。f の像は内部自己同型群と呼ばれ、Inn(G) と表記されます。

第一同型定理により、次のような同型が得られます:

$$
G/Z(G) \cong Inn(G).
$$

この写像 f の余核は外部自己同型群と呼ばれ、Out(G) と記されます。これによって得られる群の完全列は以下の形式を持ちます:

$$
1 \to Z(G) \to G \to Aut(G) \to Out(G) \to 1.
$$

いくつかの例

アーベル群の場合、その中心 Z(G) は群 G 全体に等しくなります。一方で、二面体群 D2n では、n が奇数のとき中心は自明であり、n が偶数のときは単位元と多角形の 180° 回転から構成されます。また、四元数群 Q8 の中心は {±1} に限られます。

対称群 Sn では n ≥ 3 の場合、その中心は自明です。交代群 An においても、n ≥ 4 のときに中心は自明になります。一般線型群 GLn(F) の中心はスカラー行列全体で構成されています。

高次の中心、すなわち Z_i(G) のシリーズを用いることで、中心の性質をさらに詳しく探ることができます。ある群メンバーが全ての高次の中心が自明である場合、群は中心を持たないと見なされます。

まとめ

群の中心はその構造や性質を解析するための基本的な概念です。中心の理解は、群論や関連する分野において非常に重要であり、各種の具体例を通じてその特性を視覚化することが可能です。

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