位数 (群論)

群論における群の位数：定義と応用

群論において、群の位数は群を構成する要素の個数を表す重要な概念です。有限群の場合、その位数は群の構造を理解する上で多くの情報を提供します。この記事では、群の位数と元の位数の定義から始め、両者の関係性、重要な定理、そして未解決問題までを解説します。

群の位数と元の位数

群 G の位数 `ord(G)` または `|G|` とは、群 G に含まれる要素の個数です。 有限群の場合、位数は有限の整数となります。無限群の場合は、位数は無限大です。

一方、群 G の元 a の位数 `ord(a)` または `|a|` とは、単位元 e を得るために a を何回掛け合わせるかを表す最小の正整数 m です。つまり、a^m = e を満たす最小の正整数 m が元の位数です。そのような m が存在しない場合は、元の位数は無限大です。 a によって生成される部分群 `` の位数は、元 a の位数と一致します。すなわち、`ord(a) = ord()` です。

例：対称群 S3

3 つの要素の対称群 S3 を例に考えてみましょう。S3 は 6 つの元を持ちます。よって、`ord(S3) = 6` です。単位元 e の位数は 1 です。他の元の中には、2 乗して単位元になるもの（位数 2）や、3 乗して単位元になるもの（位数 3）が存在します。

位数と群の構造

群の位数と元の位数は、群の構造を深く理解する上で重要な手がかりとなります。一般的に、位数の分解が複雑であればあるほど、群の構造も複雑になります。

自明群: 位数が 1 の群は自明群と呼ばれ、唯一の要素は単位元です。
アーベル群: 単位元でない全ての元の位数が 2 である群は、アーベル群（可換群）です。しかし、その逆は必ずしも成立しません。

ラグランジュの定理

ラグランジュの定理は、群の位数とその部分群の位数の関係を記述する重要な定理です。有限群 G の任意の部分群 H について、H の位数は G の位数を割り切ります。つまり、`ord(G) / ord(H) = [G:H]` は整数になります。ここで、`[G:H]` は H の G における指数です。この定理は、群の構造を分析する上で強力なツールとなります。

コーシーの定理

コーシーの定理は、有限群の位数が素数 p で割り切れる場合、その群には位数 p の元が存在することを主張します。これはラグランジュの定理の重要な帰結であり、群の構造に関する重要な情報を提供します。しかし、位数が合成数の場合は必ずしも成立しません。

元の位数の計算

元 a の位数が有限である場合、そのベキ a^k の位数は次の公式で計算できます。

`ord(a<sup>k</sup>) = ord(a) / gcd(ord(a), k)`

ここで、`gcd(ord(a), k)` は ord(a) と k の最大公約数です。また、元 a とその逆元 a^-1 は同じ位数を持つことに注意しましょう。

群準同型と位数

群準同型は、元の位数を保存するとは限りません。準同型写像 f: G → H において、a の位数が有限であれば、f(a) の位数は a の位数を割り切ります。準同型が単射であれば、両者の位数は等しくなります。

類等式

類等式は、有限群の位数とその中心の位数、そして非自明な共役類のサイズを関連付ける重要な式です。この式は群の構造解明に役立ちます。

未解決問題

群とその元の位数に関する未解決問題も多く残されています。バーンサイド問題はそのような問題群の一例です。

まとめ

この記事では、群の位数と元の位数の定義、両者の関係性、そして群の構造解明における重要性を解説しました。ラグランジュの定理、コーシーの定理、類等式といった重要な定理、そして未解決問題についても触れました。群の位数は、群論において中心的な概念であり、群の構造を深く理解するために不可欠です。

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