像 (圏論)

圏論における像（Image）

圏論において、圏 `C` の対象 `X` から対象 `Y` への射 `f: X → Y` が与えられたとき、その像（ぞう、英: image）とは、ある特別な性質（普遍性）を満たす単射 `h: I → Y` のことを指します。これは、集合論における写像の「値域」の概念を、より一般的な圏論の枠組みで捉え直したものです。

射 `f` の像はしばしば `im f` や `Im(f)` と記されます。

普遍性による定義

射 `f: X → Y` の像 `h: I → Y` は、以下のような普遍性を満たす単射として定義されます。

1. 分解の存在: 射 `f` を `h` を通して分解できるような射 `g: X → I` が存在します。つまり、`f = hg` となるような `g` が存在します。
2. 普遍性: 任意の対象 `Z` と、射 `k: X → Z`、そして単射 `l: Z → Y` であって、`f = lk` となるような組が与えられたとします。このとき、最初の単射 `h: I → Y` から `Z` への射 `m: I → Z` が一意に存在し、`h = lm` となるという性質を満たします。

この定義において、単射 `h: I → Y` と対応する対象 `I` の組、または単に単射 `h` 自身を射 `f` の像と呼びます。

注意点

このような像（上記の普遍性を満たす単射 `h: I → Y` の存在）は、任意の圏や任意の射に対して存在するとは限りません。
上記の定義における射 `g: X → I` は、`h` が単射であること（圏論的には左可逆であること）から、一意に定まります。
普遍性の条件で現れる射 `m: I → Z` もまた単射となります。
普遍性の条件における射 `m` の一意性は、`l` が単射であることから導かれます。

具体的な圏での例

集合の圏: 対象が集合であり、射が写像である集合の圏においては、写像 `f: X → Y` の像は、通常の集合としての像（値域）`{ f(x) | x ∈ X }` から終域 `Y` への包含写像として与えられます。これは上の普遍性を満たします。
群の圏、アーベル群の圏、加群の圏: これらの圏のような多くの「具体圏」においても、射の像はしばしば集合の圏における対応する写像の像と一致します。
正規圏: 零対象を持ち、すべての射に対して核（kernel）と余核（cokernel）が存在するような正規圏においては、射 `f` の像は、その余核の核として、`im f = ker(coker f)` と表すことができます。これは像の存在が保証される一例です。
アーベル圏: アーベル圏は正規圏であり、さらにいくつかの良い性質を持ちます。アーベル圏において、射 `f` が単射であるならば、それは自身の像と一致します。つまり、`f = im f` となります。

圏論における像の概念は、様々な圏で共通して議論できる抽象的な道具として非常に重要です。それは、射の「出力」や「到達可能な部分」を捉えるための標準的な方法を提供します。

関連項目

部分対象
余像 (Cokernel)
* 像 (数学) - 集合論における写像の像など、より一般的な数学の文脈での像について

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