写像度

写像度（degree, mapping degree）

写像度とは、連続写像が異なる多様体間で示す特性を表す整数のことを指し、特にコンパクトかつ向き付けられた同次元の多様体間での連続写像に関する重要な概念です。写像度は、ホモトピー不変量としても知られ、連続写像の性質を深く探求する際に重要な役割を果たします。

概要

通常、円周 S1上の連続写像 f : S1 → S1について考えると、f の像が S1を何回重ねて覆うかを検討することになります。具体的には、S1を絶対値 1 の複素数の集合（群）と解釈した場合、ある複素数 z を zk に写す写像は S1を k 重に被覆します。この時、写像 f が S1 を k 重に覆う場合には、f の写像度（degree）が k となります。興味深いことに、この写像度は連続変形によって変わることはありません。

さらに、この概念は n 次元球面 Sn上の連続写像 f : Sn → Snや、一般化して n 次元多様体 M, N の間の連続写像 f : M → N にも広げて定義できることが特徴的です。

定義

弧状連結かつ向き付け可能な n 次元多様体 X では、n 次ホモロジー群 Hn(X) が整数群 Z と同型になります。これにより、生成元から成る無限巡回群が形成され、生成元は ± の二つの元が考慮されます。X に特定の向きを付与すると、どちらの元が正であるかが決定され、Hn(X) の生成元は（向き付けられた）X の基本ホモロジー類として記述され、通常 [X] と書かれます。

次に、コンパクトで弧状連結な向きを持つ n 次元多様体 M, N に対し、連続写像 f : M → N が与えられる場合、f から誘導される準同型は以下のように表されます。

$$
f_ : H_n(M)
ightarrow H_n(N)
$$

この時、存在する整数 k が次の関係を満たすとき、f の写像度 deg f が k と定義されます。

$$
f_([M]) = k[N]
$$

なめらかな多様体における写像度

M と N がともになめらかな多様体である場合、f がなめらかな写像であるときには、deg f を異なる視点から計算することが可能です。コンパクトな多様体である M と N に対して、任意の f の正則値 y に関して、y の逆像 f^{-1}(y) が有限集合であるため、次のように定義される整数 d(y) が得られます。

$$
d(y) := ext{sum}_{x ext{ in } f^{-1}(y)} ext{sign} rac{df}{dx}
$$

ここで, df/dx は f の x における微分であり、その符号は行列式の符号に基づいています。このように定義される d(y) は、任意の正則値 y に対して deg f と等しいです。

性質

写像 f と g がホモトピックである場合、写像度は等しくなります。また、特に N = Snとした場合、写像 f と g がホモトピックであることと deg f = deg g が成り立つことは同値な条件です（ホップの定理）。

例

例えば、S1 から S1 への写像はトーラス S1 × S1 上にグラフを描くことができ、以下のように写像度 -4, 0, 3 の異なる写像のグラフを表示可能です。

像例'>.

参考文献

• - 田村一郎 『トポロジー』 岩波全書
• - John W. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, PRINCETON UNIVERSITY PRESS

関連項目

• - 位相幾何学
• - 多様体
• - ホモトピー
• - ホモロジー

もう一度検索