函数の全微分

全微分：多変数関数の微分

微分法において、全微分は多変数関数の微分を扱う重要な概念です。単一変数の関数の微分を拡張したもので、多変数関数の変化を線形近似で表現します。

全微分の定義

Rⁿ（またはより一般的には可微分多様体）の開集合Mにおいて、全微分可能な関数 f: M → R の全微分 df は次式で表されます。

df = Σ_i=1ⁿ (∂f/∂x_i) dx_i

ここで、∂f/∂x_i は f の x_i に関する偏微分を表し、dx_i は x_i の微分です。全微分と偏微分を区別するために、全微分には丸くない'd'、偏微分には'∂'を用います。

全微分と線形近似

全微分は、関数の線形近似を提供します。点 p ∈ Rⁿ の近傍で、関数 f(p + h) の値は、次のように近似できます。

f(p + h) - f(p) ≈ Σ_i=1ⁿ (∂f/∂x_i)(p) h_i

ここで、h = (h₁, ..., h_n) は小さなベクトルです。この近似式は、全微分を用いて次のように表現できます。

f(p + h) - f(p) ≈ df(p)

この式において、df(p) は点pにおける全微分であり、hへの線形写像として解釈できます。

線形写像としての全微分

全微分は、線形写像として解釈することもできます。Rⁿ の開集合Mにおいて、微分可能な関数 f: M → R の点 p ∈ M における全微分 df(p): Rⁿ → R は、各ベクトル v に対して方向微分を対応付ける線形写像です。

df(p)(v) = ∂_vf(p) = (d/dt)f(p + tv)|_t=0 = Σ_i=1ⁿ (∂f/∂x_i)(p) v_i

この式は、勾配ベクトル∇f(p)を用いて、df(p)(v) = ∇f(p)・v とも表現できます。

多様体への拡張

全微分の概念は、可微分多様体へ拡張できます。多様体M上の点 p における全微分 df(p): T_pM → R は、接ベクトル v ∈ T_pM に対して方向微分を対応付ける写像です。座標系を用いれば、全微分は偏微分と微分形式の線形結合として表現できます。

連鎖律

合成関数の微分に関する連鎖律は、全微分を用いて次のように表現されます。

(d/dt)(f ∘ g)(t) = df(g(t))) = ∇f(g(t))・g'(t)

ここで、f: Rⁿ → R は可微分関数、g: R → Rⁿ は滑らかな曲線です。

無限小と微分形式

全微分は、無限小変分と微分形式を用いて解釈することもできます。例えば、時刻 t と変数 p₁, ..., p_n の関数 M(t, p₁, ..., p_n) の全微分は、次のように表されます。

dM = (∂M/∂t)dt + Σ_i=1ⁿ (∂M/∂p_i)*dp_i

この式は、無限小変分の関係式として解釈することも、微分1-形式間の等式として厳密に扱うことも可能です。

可積分性

1-形式 A が全微分であるための必要十分条件は、dA = 0 が成り立つことです。この条件は、可積分条件と呼ばれます。局所的には常にこの逆が成り立ち、大域的にも多くの場合成り立ちます。

微分積分学の基本定理

一変数関数の微分積分学の基本定理は、全微分の概念の特別な場合です。

全微分方程式

全微分方程式は、全微分を含む微分方程式です。

一般化

全微分の概念は、ベクトル値関数、フレシェ微分、変分導関数などへ一般化できます。

まとめ

全微分は、多変数関数の微分を扱うための強力なツールです。線形近似、線形写像、微分形式など、様々な視点から理解することで、数学、物理学、工学における様々な問題への応用が可能です。

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