効用最大化

効用最大化とは

効用最大化とは、消費者が自身の予算制約の中で、最も高い効用（満足度）を得られる消費計画を選択する行動を指します。これはミクロ経済学における重要な概念であり、消費者の意思決定を理解するための基礎となります。

効用関数

消費者の選好関係を数式で表現するために、効用関数が用いられます。選好関係とは、消費者がどの消費の組み合わせをより好むかという選好の順序のことです。

選好関係 ≿ に対して、以下の条件を満たす関数 u: S → R が効用関数です。

a ≿ b ⟺ u(a) ≥ u(b)

ここで、S は消費集合（消費可能な財の組み合わせの集合）を表し、R は実数です。この式は、消費の組み合わせ a が b 以上に好ましい場合に、a の効用が b の効用以上になることを意味します。

効用最大化問題

消費者は、予算の範囲内で効用を最大化する消費計画を選択します。この問題を数式で表すと、以下のようになります。

max_{x ∈ S} u(x) s.t. p ⋅ x ≤ M

ここで、x は消費ベクトル（各財の消費量）、p は価格ベクトル（各財の価格）、M は消費者の所得を表します。この問題は、予算制約 p ⋅ x ≤ M の下で、効用関数 u(x) を最大化する x を求める問題です。

最適化理論との関連

効用最大化問題は、制約付き最適化問題と呼ばれる数学的な問題の一種です。この問題を解くために、ラグランジュの未定乗数法やカルーシュ・クーン・タッカー条件などの最適化手法が用いられます。予算制約が等式制約の場合はラグランジュの未定乗数法が、不等式制約の場合はカルーシュ・クーン・タッカー条件が適用されます。

双対性

効用関数の基となる選好関係が一定の条件（局所非飽和性、連続性）を満たすとき、効用最大化問題は支出最小化問題と同じ解を持つことが知られています。これは双対性と呼ばれる概念であり、最大化問題と最小化問題が互いに深く関連していることを示しています。

参考文献

神取道宏『ミクロ経済学の力』日本評論社、2014年。ISBN 9784535557567。
奥野正寛『ミクロ経済学』東京大学出版会、2008年。ISBN 978-4130421270。
奥野正寛; 鈴村興太郎『ミクロ経済学』 1巻、岩波書店〈岩波モダンエコノミックス〉、1985年。ISBN 4000043218。

関連項目

ミクロ経済学
効用
ラグランジュの未定乗数法
* カルーシュ・クーン・タッカー条件

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