原始環

左原始環についての概説

左原始環とは、忠実な単純左加群を持つ環を指します。この概念は環論において重要な位置を占めており、さまざまな数学的構造と深く結びついています。特に、ベクトル空間の自己準同型環や、標数0の体上のワイル代数が特に知られた例です。

定義

環 R が左原始的であるとは、忠実な単純左 R-加群を持つことを指します。これと対になる概念として右原始環も存在します。左原始環でありながら右原始環ではない、またその逆の環の例も存在します。その最初の例はGeorge M. Bergmanによって示されています。

左原始環の特性の一つとして、環 R が左原始的であることは、{0}でない極大左イデアルが存在しないことと同値です。また、任意の両側イデアル A'≠0 に対して、左イデアル A は A + A' = R となるような条件とも等しいです。右原始環についても同様の性質が成り立ちます。

左原始環の構造は、ジャコブソンの稠密性定理によって完全に決まります。具体的には、環が左原始的であれば、可除環上の左加群の自己準同型環の稠密部分環に同型であるということです。

性質

左原始環や右原始環は、半原始環であり、素環でもあります。なお、素環の直積は素環とはならないため、原始環の直積も原始環ではありません。また、左アルティン環では、「左原始的」、「右原始的」、「素」、「単純」という性質がすべて同値であることが知られており、この場合は可除環上の行列環と同型の半単純環になります。

可換環が左原始的であることは、その環が体であることと等しいです。このように、左原始的であるという性質は、様々な状況下で維持されるものです。

例

単位元を持つ任意の単純環 R は左原始的かつ右原始的です。単位元がない場合には必ずしもそうとは限りません。これは、R が極大左イデアル M を有することと剰余加群 R/M が単純左 R-加群であることから導かれます。

標数0の体上のワイル代数は原始的でありながら、非可換整域に属するため、極小片側イデアルを持たない一例となります。

全線型環

さらに、全線型環（full linear ring）は原始環の特別な場合です。左全線型環は、可除環上の無限次元左ベクトル空間の全線型変換からなる環です。正式には、左全線型環は次のように表現できます。

$$
R = ext{End}(_{D}V)
$$

ここで、V は可除環 D 上の左ベクトル空間を指します。また、左全線型環であることと、R がフォン・ノイマン正則であり、左自己移入的で、socle が soc(RR) ≠ {0} であることが同値になることも知られています。

このような全線型環により、単純でない左原始環の存在も明らかになります。ジャコブソンの稠密性による特徴づけを利用すると、左全線型環 R は常に左原始的であることが保証されます。

結論

このように、左原始環は多くの重要な性質を持ち、環の構造や特性を理解するための基本的な単位となります。数学の多様な分野において、この概念がどのように用いられるかを知ることは、より深い理解を得るための鍵となるでしょう。

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