合成体

合成体についての概要

数学の分野において、合成体とは、複数の体を統合した最小の体を指します。具体的には、ある体 L の部分体である A と B に対して、その合成体 AB は A に B を追加して形成される体 A(B) として定義されます。この合成体は、B の元に対する A-係数の線形結合の全てを含み、また A と B の両方を含む L の部分体全ての交わりとも一致します。興味深いことに、この体の添加プロセスは対称的であり、すなわち A(B) = B(A) が常に成り立ちます。

合成体の定義

両者の体 A および B が外部の体からの部分体である場合、合成体はさらに異なる方法で定義されます。例えば、体のテンソル積を用いる方法があり、この場合 A および B が第三の体の部分体になることが明確でない時に適用されます。ここでのコンセプトとしては、体の拡大 L/K において中間体 A と B について考える際、合成体の拡大次数はそれぞれの拡大次数の最小公倍数とその積の間に位置することが知られています。

拡大次数の関係

具体的には次の関係式が成り立ちます:

$$
ext{l.c.m} ([A:K],[B:K]) ext{ } ext{≤} ext{ }[AB:K] ext{ ≤ }[A:K]⋅[B:K]
$$

特に、A と B が線形無関連である場合、[AB : K] = [A : K] · [B : K] という関係が成り立ちます。これは、A と B の拡大次数が互いに素の時に特に適用されます。

複数の体の合成

また、共通の拡大体を持つ複数の体の合成も可能です。例えば、代数的数全体が形成する体は、有理数体 Q の任意の有限次拡大体を部分体として含んでおり、これらの有限次拡大体全ての合成体と一致します。このように、数学における合成体の概念は、体同士の関係性を理解し、様々な体の構造を探求する上で重要な役割を果たします。

ガロア理論との関係

さらに、ガロア理論の観点から見ると、合成体に関するさまざまな特性が明らかになります。特に、共通の部分体 K を持つ体 A および B があり、A/K がガロア拡大である場合、合成体 AB/B および A/(A ∩ B) もガロア拡大となり、これらの間には群の同型が成り立つことが知られています。具体的には、次のような同型関係が存在します:

$$
ext{Gal}(AB/B) ≅ ext{Gal}(A/(A ∩ B))
$$

このように、合成体の理解はガロア群の特性や体の拡大の性質を考察する上で不可欠です。合成体の概念は、数学的な構造を深く理解するための土台を築くものであり、数学の多くの分野へ応用されているのです。

参考文献

• - Lang, Serge (1978). Algebra.
• - Roman, Steven (1995). Field Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94407-9, especially chapter 2.

外部リンク

• - composite field - PlanetMath
• - Compositum, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001.

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