垂重円

垂重円 (すいじゅうえん) - Orthocentroidal Circle



幾何学における垂重円は、特別な三角形である正三角形を除いた任意の三角形に対して定義される円です。この円の最も特徴的な性質は、三角形の重要な中心である垂心 (Orthocenter) と 重心 (Centroid) を結ぶ線分をその直径とすることです。

歴史と基本的な性質



垂重円に関する重要な研究は、19世紀末に行われました。1894年、数学者アンドリュー・ギーナン (Andrew Geenan) は、三角形の内心 (Incenter) が常に垂重円の内部に位置することを明らかにしました。興味深いことに、三角形の九点円の中心もまた内心とは異なる点であり、垂重円の中心とも一致しませんが、九点円の中心もまた垂重円の開円板（円周を含まない円の内部領域）の中に存在することが示されました。

主要な点の位置関係



垂重円は、多くの著名な三角形の中心や点との位置関係において興味深い性質を示します。


さらに、特定の条件下での点の軌跡に関する性質も知られています。例えば、垂心と重心を固定したまま三角形の形を変化させたとき、ブロカール点 (Brocard Points) のうち一方は常に垂重円の内部を動き、もう一方は外部を動くような軌跡を描きます。このうち、内部を動くブロカール点の軌跡全体が、ちょうど垂重円の開円板全体と一致するという性質があります。

数学的な記述



垂重円の大きさは、三角形の辺の長さと外接円の直径によって表現することができます。辺の長さをそれぞれ $a, b, c$ とし、三角形の外接円 (Circumcircle) の直径を $D$ とすると、垂重円の直径の二乗は以下の式で与えられます。

$$ D^2 - \frac{4}{9}(a^2 + b^2 + c^2) $$

この式から、三角形の形状が変わると垂重円の直径も変化することが分かります。

他の円との関連



垂重円は、他のいくつかの重要な円と興味深い関係を持っています。特に、レスター円 (Lester Circle) やステヴァノヴィッチ円 (Stevanović Circle) といった幾何学で研究される他の円と直交するという性質があります。これは、これらの円が互いに90度の角度で交わることを意味し、三角形の幾何構造における深い関連性を示唆しています。

垂重円の中心



垂重円の中心は、その定義から明らかであるように、垂心と重心を結ぶ線分の中点に位置します。この中心は、三角形の中心を示すエンサイクロペディア・オブ・トライアングル・センターズにおいてX(381)としてリストアップされています。三角形の角の大きさを $A, B, C$ とすると、垂重円の中心の三線座標（Trilinear Coordinates）は以下の式で表されます。

$$ 2\cos(B-C) - \cos A : 2\cos(C-A) - \cos B : 2\cos(A-B) - \cos C $$

このように、垂重円は三角形の垂心と重心という基本的な点を結びつけるだけでなく、多くの他の重要な幾何学的点や円との間に複雑で美しい関係性を持っているのです。

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出典・関連情報:

Weisstein, Eric W. "Orthocentroidal Circle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/OrthocentroidalCircle.html
Weisstein, Eric W. "Lester Circle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/LesterCircle.html
* Weisstein, Eric W. "Stevanović Circle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/StevanovicCircle.html

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