変形勾配

変形勾配テンソル：物体の変形を記述する数学的ツール

連続体力学において、物体の変形を正確に記述するために不可欠な概念が変形勾配テンソルです。これは、物体の変形前（基準配置）の状態と変形後（現在配置）の状態を結びつけるテンソル量であり、物体の変形を定量的に表現する強力なツールとなります。

変形勾配テンソルの定義

基準配置におけるある物質点Xとその近傍の点X+dXを考えましょう。変形後、これらの点はそれぞれxとx+dxに移ります。dXが十分小さいと仮定すると、dxはdXに対して線形近似でき、次の関係が成り立ちます。

math
d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X} + d\boldsymbol{X}) - \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}) = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} d\boldsymbol{X} = F d\boldsymbol{X}


ここで、Fは変形勾配テンソルです。これは、基準配置における微小変位ベクトルdXを現在配置における微小変位ベクトルdxに変換するテンソルとして定義されます。言い換えれば、変形勾配テンソルは、基準配置における座標系から空間座標系への変換を行う役割を果たします。

時間変化を考慮すると、時刻τにおける変形勾配をF(τ)、時刻tにおける変形勾配をF(t)、時刻τからtへの変形の変形勾配をF(τ,t)と表記すると、以下の関係が成立します。

math
F(\tau, t) = F(t)F^{-1}(\tau)


変形勾配テンソルの行列式det(F)は体積変化率を表し、物体の変形に伴う体積変化を定量的に示します。

極分解とひずみテンソル

変形勾配テンソルは、極分解定理を用いて回転と伸縮の二つの成分に分解できます。

math
F = VR = RU


ここで、Rは回転テンソル（直交テンソル）、Vは左ストレッチテンソル、Uは右ストレッチテンソルです。VとUは正定値対称テンソルであり、それぞれ変形後の空間における伸縮と、変形前の物質における伸縮を表しています。この分解は、任意の変形が剛体回転と伸縮の合成で表せることを意味しています。

これらのテンソルから、様々なひずみテンソルが定義されます。

左コーシー・グリーンテンソル (B): B = V² = FFᵀ
右コーシー・グリーンテンソル (C): C = U² = FᵀF
アルマンシーのひずみテンソル (e): e = 1/2(I - B⁻¹)
グリーンのひずみテンソル (E): E = 1/2(C - I)

ここで、Iは単位テンソルです。これらのひずみテンソルは、物体の変形に伴う距離の変化を記述するために用いられます。具体的には、微小距離ベクトルの長さの変化を以下の式で表現できます。

math
^2 = 2d\boldsymbol{x}^T e d\boldsymbol{x} = 2d\boldsymbol{X}^T E d\boldsymbol{X}


微小変形においては、アルマンシーのひずみテンソルとグリーンのひずみテンソルは近似的に一致します。

速度勾配テンソル

変形が時間とともに変化する場合、その速度は速度勾配テンソルLで記述されます。

math
d\dot{\boldsymbol{x}} = \dot{F}d\boldsymbol{X} = Ld\boldsymbol{x}, L \equiv \dot{F}F^{-1}


速度勾配テンソルLは、対称部分（変形速度テンソル）と反対称部分（回転速度テンソル）に分解できます。

プッシュフォワードとプルバック

変形勾配テンソルは、基準配置を参照するテンソルと現在配置を参照するテンソルを相互に変換する役割も持っています。基準配置の量を現在配置の量に変換することをプッシュフォワード、その逆をプルバックといいます。

例えば、アルマンシーのひずみテンソルeはグリーンのひずみテンソルEのプッシュフォワードであり、以下の関係があります。

math
e = F^{-T}EF^{-1}, E = F^TeF


同様に、キルヒホッフ応力テンソルτは、第2ピオラ・キルヒホッフ応力テンソルSのプッシュフォワードとなります。

math
\tau = (det F)\sigma = FSF^T, S = F^{-1}\tau F^{-T}


ここで、σはコーシー応力テンソルです。

まとめ

変形勾配テンソルは、連続体力学における基本的な概念であり、物体の変形を数学的に記述する上で非常に重要な役割を果たします。その定義、極分解、ひずみテンソル、速度勾配テンソル、そしてプッシュフォワードとプルバックの概念を理解することで、様々な変形現象を解析することができます。特に、有限要素法や材料力学の分野においては、この概念の理解が不可欠です。 また、非圧縮性の条件 (det F = 1) は、流体力学などにおいて重要な役割を果たします。

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