実数の連続性

実数の連続性

実数の連続性（じっすうのれんぞくせい）は、数学において実数全体の集合 $\mathbb{R}$ が持つ根本的な性質の一つです。この性質は、有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ には存在せず、実数と有理数との決定的な違いを示しています。実数の連続性はしばしば「実数の完備性（かんびせい）」とも呼ばれ、解析学をはじめとする数学の様々な分野の基礎となります。また、文脈によっては実数の議論の出発点として「実数の公理」と呼ばれることもあります。

ここで言う「連続性」は、グラフがつながっている、といった関数の連続性とは全く異なる、集合自身が持つ性質である点に注意が必要です。

連続性が示すもの

実数の連続性が保証するのは、直感的に言えば数直線上に「隙間がない」ということです。有理数だけでは、例えば $\sqrt{2}$ のような数が存在するための「場所」が抜けてしまい、数直線上に無数の穴ができてしまいます。しかし、実数ではそのような隙間が埋められ、数直線全体が途切れることなく滑らかにつながっていると考えることができます。

実数の連続性と同値な命題

実数の連続性という性質は、表面上は異なって見える様々な数学的な性質や定理と同値であることが知られています。「同値である」とは、ある命題が真であれば連続性も真となり、連続性が真であればその命題も真となる、つまり、それらが数学的に全く同じ内容を別の言葉で表現していることを意味します。

実数の連続性と同値な主要な命題には、以下のようなものがあります。

デデキントの公理: 実数の集合を二つの空でない部分集合AとBに分割する「切断」を行い、Aのどの要素もBのどの要素より小さくないという関係が成り立つ場合、Aには最大元が存在してBには最小元が存在しないか、あるいはBに最小元が存在してAには最大元が存在しないかのどちらか一方のみが成り立つという性質です。これはリヒャルト・デーデキントによって提示されました。
上限性質（下限性質）: 実数の空ではない部分集合で、それより大きな実数が存在しない（上に有界である）ならば、その集合には必ず「上限」（上界全体の集合の中で最小の要素）が存在するという性質です。同様に、下に有界な空でない部分集合には必ず「下限」（下界全体の集合の中で最大の要素）が存在します。この上限性質を持つことを「ワイエルシュトラスの公理を満たす」とも言います。
有界単調数列の収束定理: 単調増加数列（項が進むにつれて値が小さくならない数列）が上に有界（ある一定の値より常に大きくならない）ならば必ず収束し、同様に単調減少数列（項が進むにつれて値が大きくならない数列）が下に有界（ある一定の値より常に小さくならない）ならば必ず収束するという定理です。
アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
アルキメデス性を持つ かつ コーシー列は収束する
中間値の定理
最大値の定理
ロルの定理
ラグランジュの平均値の定理
コーシーの平均値の定理
ハイネ・ボレルの定理

これらの命題は、それぞれ異なる視点から実数の連続性を捉えており、互いに導き出すことが可能です。例えば、赤摂也氏の『実数論講義』には、これらの命題を含む22個の同値な命題とその詳細な証明が記されています。

実数の連続性、あるいは完備性は、微積分学における極限や収束、関数の連続性といった重要な概念を厳密に定義し、定理を証明するための不可欠な基盤となっています。

関連する概念

実数
有理数
無理数
デデキント切断
完備性
順序体
アルキメデス性
線型連続体

参考文献

赤摂也『実数論講義』SEG出版
斎藤正彦『数学の基礎』東京大学出版会
* 松坂和夫『代数系入門』岩波書店

（注）これらの参考文献は、実数の連続性やそれと同値な命題についてより深く学ぶための資料です。記事の内容は、上記の「input」情報に基づき、再構成したものです。

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