実閉体

実閉体について

数学において、実閉体（じつへいたい）とは、実数体と同じ一階の性質を持つ体のことを指します。具体的な例としては実数体、実代数的数体、超実数体などが挙げられます。実閉体に関する理論は、代数学やモデル理論の分野で重要な役割を果たしており、さまざまな公理や定理が提唱されています。

定義

実閉体 F が成立するための条件は、以下のように互いに同値な形で定義できます。まず、F が実数の全体と初等的に同値であることが求められます。具体的には、F において真となる任意の一階の文が、実数体においても真でなければなりません。また、F は順序体であり、その順序に従って任意の正元が平方根を持ち、任意の奇数次の多項式が少なくとも一つの根を持つという条件を満たす必要もあります。

さらに、F は実体であり、各元に対して適当な平方数または負の平方数を持つb が存在することが条件に含まれています。加えて、F の代数閉包が有限次拡大として得られることや、F の特定の順序がその真の代数拡大の上に延長できないことも実閉体の特徴です。

Artin–Schreier定理

順序体 F の実閉包と呼ばれる代数拡大体 K が存在し、K は実閉体かつ F の順序の延長であるというのがアルティン–シュライヤーの定理です。例えば、有理数全体で構成される順序体の実閉包は実代数的数体 Ralg です。

モデル理論

実閉体の理論は元々代数学の領域で発展しましたが、モデル理論からの洞察も重要です。特に、実閉体の理論は決定可能性や量限定子消去という特徴を有することが知られています。Tarskiは、半順序環に関する一階の言語において、実閉体の理論が量限定子消去を許すことを示しました。これにより、実閉体に関する文の真偽を決定するためのアルゴリズムが存在することが保証されることになります。

この決定手順は非常に計算量が大きいことが知られており、実行時間が長くなる可能性がありますが、理論的には完全であるとされています。また、実閉体の理論がo-極小かつ決定可能であるという性質も、モデル理論において大きな役割を果たしています。

順序論的性質

実数体の重要な特性としてアルキメデス体であることが挙げられます。任意の実数よりも大きい整数が存在するという性質は、実閉体においても重要です。アルキメデス的でない実閉体は非アルキメデス順序体と言われ、超実数体などがその例です。

実閉体における濃度や共終数といった概念も、この理論の中で重要な役割を果たしています。具体的には、実閉体 F の濃度や共終数に基づいて、その順序に関する多くの性質が冗長でない形で整理できることが示されています。特に、F が完備である場合とどうかという観点からの考察や、順序数に関連した性質は、実閉体の深い理解を促進します。

例

実閉体の具体例として、以下のものがあります：実代数的数体、計算可能数体、準超実数体、実係数ピュイズー級数体など。これらの構造はそれぞれ異なる特性を持ち、実閉体の理論や実数論からの延長としての意義を持っています。実閉体の研究は、数学のさまざまなカテゴリーや応用において重要な基盤を提供します。

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