対称性 (物理学)

物理学における対称性：不変性と保存則の深遠な関係

物理学において、対称性とは物理系の状態がある特定の変換に対して不変であることを意味します。これは、系の振る舞いが変換の前後で変わらないという性質を表しています。例えば、完璧な球体はどの軸を中心に回転させても見た目が変わりません。これは球対称性の一例です。

対称性は、連続的な変換（例えば、円の回転）と離散的な変換（例えば、左右反転）に分類されます。連続対称性はリー群、離散対称性は有限群といった数学的な構造を用いて記述されます。これらの数学的枠組みは、複雑な物理現象の理解を簡素化し、問題解決に役立ちます。

不変性としての対称性

対称性の概念は「不変性」という重要な側面と密接に関連しています。ある量が変換によって変化しないとき、その量は変換に対して不変であるといいます。例えば、均一な部屋の温度は位置によらず一定なので、位置の移動に対して不変です。

同様に、物理法則も特定の変換に対して不変である場合があります。これは、物理法則が座標系の取り方によらず同じ形で表現できることを意味します。これを一般共変性原理といいます。

力の不変性

対称性の概念は力に対しても適用できます。例えば、無限に長い帯電した電線は円筒対称性を示します。電線を中心軸とした円筒の表面上の任意の点における電界の強さは、電線を回転させても変わりません。

ニュートンの力学でも対称性は重要な役割を果たします。例えば、2つの質点の運動エネルギーは、速度を入れ替えても変わりません。これは、系の全運動エネルギーがy軸に関する反射に対して不変であることを示しています。

局所的対称性と大局的対称性

対称性は、大局的対称性と局所的対称性に分類できます。大局的対称性は時空の全ての点で成立する対称性です。一方、局所的対称性は時空の異なる点で異なる対称性変換を持つものです。局所的対称性は、ゲージ理論といった現代物理学の重要な理論の基礎となっています。

連続的対称性

球対称性や円筒対称性のような連続的な変化に対して不変な対称性を連続的対称性といいます。数学的には、連続関数によって記述されます。

特に重要なのは、時空の変換を含む時空対称性です。これは、空間並進、時間並進、空間回転など、様々な種類の変換を含みます。

時間並進: 時間の経過に対して物理法則が不変であること。エネルギー保存則に対応します。
空間並進: 位置の移動に対して物理法則が不変であること。運動量保存則に対応します。
空間回転: 回転に対して物理法則が不変であること。角運動量保存則に対応します。
ポアンカレ変換: ミンコフスキー時空における距離を保存する変換。特殊相対性理論において重要です。

これらの時空対称性は、多くの場合、キリングベクトル場と呼ばれる数学的対象を用いて記述されます。キリングベクトル場は、多様体上の二点間の距離を保存するベクトル場です。

離散的対称性

離散的対称性は、非連続的な変化に対して不変な対称性です。例えば、正方形は90度の回転に対してのみ不変です。

時間反転: 時間の向きを反転しても物理法則が不変であること。
空間反転（パリティ）: 座標を反転しても物理法則が不変であること。
* C, P, T対称性: 素粒子物理学において重要な対称性。Cは電荷共役、Pはパリティ、Tは時間反転を表します。標準模型ではCPT対称性が成立すると考えられていますが、CP対称性は破れています。

超対称性

超対称性とは、ボース粒子とフェルミ粒子の間に新たな対称性があると仮定する理論です。ボース粒子にはフェルミ粒子の超対称パートナーが、フェルミ粒子にはボース粒子の超対称パートナーが存在すると考えられています。しかし、超対称性は実験的にまだ確認されていません。

物理的対称性の数学的記述

物理的対称性は、数学の群論を用いて記述されます。連続的対称性はリー群、離散的対称性は有限群によって表されます。標準模型では、SU(3)×SU(2)×U(1)群といったゲージ群が用いられています。

保存則と対称性

ネーターの定理は、連続的対称性と保存則の関係を記述する重要な定理です。この定理によると、系の連続的対称性があれば、対応する保存量が存在します。例えば、空間の並進対称性から運動量保存則が、時間の並進対称性からエネルギー保存則が導かれます。

対称性の概念は、物理学における基本的な概念であり、様々な物理現象の理解に不可欠な役割を果たしています。現代物理学における標準模型や超対称性といった発展的な理論も、対称性を基盤として構築されています。

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