射影極限

逆極限

数学における逆極限（inverse limit）は、射影極限（projective limit）とも呼ばれ、一連の数学的対象群を、それらの間に定められた特定の関係性（射）に基づいて「結合」させ、一つの新たな対象を生み出すための構成法です。この手法は、具体的な構造を持つ対象だけでなく、一般的な圏においても抽象的に定義され、代数学、位相空間論、ホモロジー代数など、様々な分野で重要な役割を果たします。

厳密な定義

逆極限を定義するためには、まず「逆系（inverse system）」または「射影系（projective system）」と呼ばれる構造を導入します。(I, ≤) を有向半順序集合とします。ここで I は添え字集合、≤ はその上の順序関係です。

代数系における逆極限

群や環、加群などの特定の代数系においては、逆系は、I で添字付けられた代数系の族 (Ai)₋i∈I と、I の任意の元 i, j に対して i ≤ j ならば Aj から Ai への準同型 fij の族 ((Ai)₋i∈I, (fij)₋i≤j∈I) であって、以下の条件を満たすものです。

1. fii は Ai の恒等写像である。
2. i ≤ j ≤ k であるならば、fik = fij ∘ fjk が成り立つ。

このような逆系に対する逆極限（射影極限）は、対象 Ai たちの直積 ∏₋i∈I Ai の特定の部分集合として具体的に構成されます。この部分集合は、直積の要素 a = (ai)₋i∈I のうち、任意の i ≤ j に対して ai = fij(aj) という「結合条件」を満たすもの全体の集まりです。これを通常

A = varprojlim_{i∈I} A_i = { (a_i)_{i∈I} ∈ ∏_{i∈I} A_i | a_i = f_{ij}(a_j) for all i ≤ j in I }

と表記します。この構成で得られる A もまた元の代数系と同じ種類の代数系となります。A には、各 i に対して直積から i 番目の成分を取り出す写像から誘導される、自然な射影 πi : A → Ai が備わっています。

一般の圏における定義

逆極限の概念は、任意の圏 C において、より抽象的に「普遍性」を用いて定義されます。圏 C における逆系 (Xi, fij) とは、I で添字付けられた C の対象の族 (Xi) と、前述の条件を満たす C の射 fij の族のことです。

逆系 (Xi, fij) の逆極限（射影極限）とは、C の対象 X と射の族 πi: X → Xi (総称して射影と呼ばれる) の対 (X, πi) であって、任意の i ≤ j に対して πi = fij ∘ πj を満たし、かつ以下の普遍性を満足するものをいいます。

- 同様の性質を持つ任意の対 (Y, ψi) （すなわち、対象 Y と射 ψi: Y → Xi の族で、i ≤ j に対して ψi = fij ∘ ψj を満たすもの）が与えられたとき、Y から X への射 u: Y → X が一意的に存在して、全ての i に対して図式が可換になる（ψi = πi ∘ u）。

逆系の逆極限 X は、存在すれば同型を除いて一意に定まります。逆系 (Xi, fij) の逆極限 X を

X = varprojlim X_i

と表します。逆系は、I から C への反変函手（I を射 i → j ⇔ i ≤ j を持つ圏と見なす）と考えることもでき、逆極限を取る操作は共変函手と見なせます。

具体例

様々な数学の分野に逆極限の具体例が見られます。

p-進整数環: 各自然数 n に対して整数環の剰余類環 Z/pⁿZ （pは素数）を考え、n ≤ m のとき Z/pⁿZ ← Z/pᵐZ を剰余を取る写像とすると、これらは逆系をなします。この逆極限としてp-進整数環 Zp が得られます。
形式冪級数環: 可換環 R 上の形式冪級数環 Rt は、自然数 n に対する剰余環 R[t]/tⁿR[t] の逆極限として構成できます。
副有限群: 有限群の逆極限として定義されます。
位相空間: 位相空間の圏における逆極限は、台集合としては集合としての逆極限を取り、それに始位相（極限位相）を入れることで得られます。これにより、例えばp-進整数集合やカントール集合を無限文字列の集合として実現し、極限位相を与えることができます。
特殊な場合: 添字集合 I が自明な順序（どの二つの元も比較できない）を持つ場合は、逆極限は単なる直積になります。また、単純な構造の添字集合からは、引戻し（pullback）のような構成が得られることもあります。

ホモロジー代数における役割

アーベル圏において、逆極限を取る函手 `varprojlim` は一般に左完全函手ですが、必ずしも完全函手ではありません。つまり、完全列を完全列に保つとは限りません。この「不完全性」の度合いは、その右導来函手 varprojlimⁿ によって測られます。

特に、アーベル群の圏 Ab 上で、可算な添字集合 I を持つ逆系 (Ai, fij) に対しては、varprojlim¹ という右導来函手が構成され、短完全列から導かれる長完全列の中に現れます。

ミッターク＝レフラー条件

アーベル群の逆系 (Ai, fij) が「ミッターク＝レフラー条件」を満たすとは、各 k に対して、十分大きな j ≥ k が存在し、それより先の任意の i ≥ j に対して遷移射 fij による Aj の像 fij(Aj) が fki(Ai) に一致する（射の値域が安定する）ことをいいます。この条件が満たされる場合、varprojlim¹ Ai = 0 となります。

遷移射が全て全射である逆系や、有限次元ベクトル空間の逆系などは、ミッターク＝レフラー条件を満たす例です。一方、この条件を満たさない例も存在し、その場合に varprojlim¹ が非自明な値を取ることが知られています（例: p-進整数環 Zp/Z）。