根号

根号（radical symbol）について

根号（こんごう、英: radical symbol）とは、ある数がn乗される前の元の数、すなわちある数の冪根を表すのに用いる記号で、√ のことです。

例えば、2が2乗される前の数は√2（ルート2）と表し、これを2の平方根といいます。同様に、3が3乗される前の数は³√3 と表し、これを3の立方根といいます。一般に、ある数をaとしたとき、aがn乗される前の数、すなわちaのn乗根はⁿ√aと表されます。

歴史

冪根という数の概念は、紀元前のピタゴラスの時代から存在していましたが、当時は単なる無理数として扱われ、記号は用いられていませんでした。

その後、インドの数学者ブラーマグプタが無理数を表すために「carani」の頭文字であるcを用いる方法を考案しました。13世紀には、記号が根の意味を持つようになり、ラテン語のradix（根や根源の意味、英語のrootに相当）を用いたり、イタリアではradixを略した記号として大文字のRと小文字のxを組み合わせた記号が使われました。

イギリスでは、latus（正方形の一辺の意味、英語のsideに相当）の頭文字lが用いられました。

1525年、ドイツの数学者クリストッフ・ルドルフの著作『Coss』（代数）において、根号の原型となる√が初めて用いられたとされています。この記号は、radixの頭文字rを変形したものといわれていますが、諸説あります。上に横棒を引いて範囲を示す現在の形は、1637年にルネ・デカルトが考案しました。

平方根以外のn乗根については、しばらく形式が決まっていませんでした。アイザック・ニュートンは³√ のように立方根を表しましたが、デカルトはcを用いて立方根を √c.a（aは何らかの数）と表しました。このような表記の違いは、17世紀から18世紀頃に現在の形に統一されました。

用例

共通ルールとして、乗法や除法の記号は省略し、除法の場合は分数で表します。

例:

3 × √2 → 3√2
√2 ÷ 3 → √2/3

平方根

√ の横線の下に平方根を求める数式を書きます。式が長い場合は、必要なだけ横線を伸ばします。

例:

√2
√x
√(x+y+z+w+...)

演算の優先順位は横線によって示されますが、その後も数式が続く場合は、印刷の都合などで判別しにくいことがあるため、全体を括弧でくくったり、乗算記号を書いたりすることがあります。

例:

√x y = (√x)y = √x・y ≠ √(xy)

非負の実数の平方根（のうち根号で表される方）は1/2乗であり、根号の代わりに冪乗で表すこともあります。

例:

√x = x^(1/2)

開平法の筆算においては、√ の横棒の上に被開平数2桁ごとに求めた根の値を書きます。左に垂れ下がる記号の形状と、横棒の上に求めた値を書く点は、除算の筆算の記号（⟌）と共通していますが、「√」と「⟌」は別物です。

多重根号

根号は必要なだけ入れ子にできます。このように入れ子にした式は根号の中に無理式を含むパターンであることがほとんどであるため、基本的に多重根号となります。

例:

√(x + √(x + √(x + √(x + ... ))))

イデアルの根基

可換環のイデアルaの根基は以下のように定義されます。

√a := { x | x^n ∈ a for some integer n > 0 }

非可換の場合は以下のように定義されます。

√a := { a | if S is an m-system, and a ∈ S then S ∩ a ≠ ∅ }

コンピュータでの表現

プレーンテキストで根号を表す場合は、√の後に数字などを続けるか、1/2乗として表記します。演算の優先順位が曖昧な場合は括弧を使用します。

例:

√x
x ^ (1/2)
√(x + b)

HTMLなどでは、数字の上にオーバーラインをつけることもあります。ただし、環境によっては根号と綺麗につながらない場合があります。

例:

√x

符号位置

√ は、Unicodeの符号位置 U+221A に割り当てられています。

脚注

注釈:

本記事では、数学的な記号である根号（√）について解説しました。

出典:

上垣渉 (2006). はじめて読む数学の歴史. ベレ出版. ISBN 978-4860641108
岡部恒治、川村康文、長谷川愛美、本丸諒、松本悠『身近な数学の記号たち』株式会社オーム社、2012年8月1日。ISBN 4274212432

参考文献:

上垣渉 (2006). はじめて読む数学の歴史. ベレ出版. ISBN 978-4860641108
岡部恒治、川村康文、長谷川愛美、本丸諒、松本悠『身近な数学の記号たち』株式会社オーム社、2012年8月1日。ISBN 4274212432

外部リンク

radical of an ideal - PlanetMath. (英語)
記号代数学の成立
三重大学教育学部附属教育実践総合センター紀要20, pp. 57–66

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