微分の記法

微分の記法：数学における微分の表現方法

数学において、微分を表現する方法は複数存在し、それぞれに長所と短所があります。どの記法が適切かは、扱う分野や文脈、状況によって異なります。本稿では、代表的な微分の記法を解説します。

1. ライプニッツの記法

ライプニッツの記法は、関数 $y = f(x)$ を独立変数 $x$ と従属変数 $y$ の関係として捉える際に用いられます。導関数は、$\frac{dy}{dx}$ と表記されます。これは「ディーワイディーエックス」と読みます。$d$ は立体またはイタリックで表記される流儀があります。

関数の $x$ における値は導関数の $x$ における値であり、以下のようにも表記できます。

$\frac{d(f(x))}{dx}$, $\frac{d}{dx}(f(x))$, $\frac{df}{dx}(x)$

$x$ に対する導関数 $\frac{df}{dx}$ の値は、関数 $f$ の微分係数（微係数）と呼ばれます。

高階導関数は、$y = f(x)$ の $n$ 階導関数に対して、$\frac{d^ny}{dx^n}$, $\frac{d^n(f(x))}{dx^n}$, $\frac{d^n}{dx^n}(f(x))$ のように表されます。例えば、3階導関数は$\frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}))$ を簡略化した表記です。

ライプニッツの記法では、$x = a$ における微係数は、$\frac{dy}{dx}|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a)$ のように表されます。

ライプニッツの記法の利点は、分母に微分すべき変数を明示的に示せる点です。これは偏微分や連鎖律を扱う際に特に便利です。連鎖律は$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ と見やすく表現できます。しかし、極限による微積分学の定式化においては、$du$ の意味は著者が異なれば様々です。いくつかの文献では$du$ それ自体に意味付けせず、$du/dx$ の一部として扱うものもあります。他に$dx$を独立変数として定義し、加法的関数や積の微分則を公理として用いるものもあります。超準解析では$du$ は無限小として定義されます。関数 $u$ の外微分としても解釈できます。

2. ラグランジュの記法

ラグランジュの記法は、プライム記号(') を用います。$f$ の導関数は $f'$, 2階導関数は $f''$, 3階導関数は $f'''$ と表記されます。4階以上はローマ数字や括弧書きで階数を示します(例: $f^{IV}$ や $f^{(4)}$)。$n$ 階導関数は $f^{(n)}$ と表記されます。この記法は現代で最も広く使われているものの1つです。

3. オイラーの記法

オイラーの記法は、微分作用素 $D$ を関数に前置する方法です。関数 $f$ の導関数は $Df$ と表記されます。従属変数 $y = f(x)$ を微分する際は、独立変数 $x$ を下付きとして $D_x$ を用いるのが一般的ですが、独立変数が1つの場合は省略されることが多いです。線形微分方程式の分野で有用です。

4. ニュートンの記法

ニュートンの記法は、ドット記法とも呼ばれ、従属変数の上にドット記号を付けます。例として、$\dot{y} = \frac{dy}{dt}$, $\ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}$ などがあります。時間微分、特に速度や加速度を表す際に使用されることが多いです。力学や常微分方程式の理論で主に用いられ、時間に関する微分に対してのみ用いるのが一般的です。

5. ベクトル解析における記法

ベクトル解析では、ナブラ記号($
abla$)を用いた独自の記法が用いられます。ナブラ記号はベクトルとして扱い、要素の偏微分が通常の項のように扱われます。

$
abla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$

これにより、勾配、発散、回転、ラプラシアンといった微分演算が簡潔に表現できます。

勾配: $
abla \varphi$

発散: $
abla \cdot \mathbf{A}$

回転: $
abla \times \mathbf{A}$

ラプラシアン: $
abla^2 \varphi = \Delta \varphi$

これらの記法は、ベクトル場の解析を簡略化し、強力な計算ツールとなります。

6. その他の記法

多変数解析やテンソル解析など、特定の分野では、個別の微分記法が用いられます。例えば、関数 $y = f(x)$ について、$f_x = \frac{dy}{dx}$, $f_{xx} = \frac{d^2y}{dx^2}$ のような記法や、偏微分では$\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f = \partial^x f$ のような記法が用いられます。ミンコフスキー空間ではダランベール演算子($\Box$)などが用いられます。様々な分野で、必要に応じて様々な微分の記法が用いられていると言えるでしょう。

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