微分作用素の表象

微分作用素の表象

数学における微分作用素の表象とは、微分作用素を多項式として表現するための概念です。これは、フーリエ解析において重要な役割を果たし、偏微分方程式の解析に不可欠な道具となります。

定義

ユークリッド空間上の作用素

ユークリッド空間 \( \mathbb{R}^d \) 上の \( k \) 次の線形微分作用素 \( P \) は、多重指数表記を用いると、次のように表されます。

\[
P = p(x, D) = \sum_{|\alpha| \leq k} a_{\alpha}(x)D^{\alpha}
\]

ここで、\( a_{\alpha}(x) \) は係数関数、\( D^{\alpha} \) は微分作用素を表します。

このとき、\( P \) の全表象は、不定元 \( \xi \) に関する多項式として次のように定義されます。

\[
p(x, \xi) = \sum_{|\alpha| \leq k} a_{\alpha}(x)\xi^{\alpha}
\]

また、主表象（最高次表象）は、全表象の最高次成分として定義され、次のように表されます。

\[
\sigma_P(\xi) = \sum_{|\alpha| = k} a_{\alpha}\xi^{\alpha}
\]

主表象は座標変換に対してテンソルとして振る舞うため、偏微分方程式の解析において重要な役割を果たします。

フーリエ変換との関連

微分作用素の表象は、フーリエ変換との関連で自然に現れます。\( f \) をシュワルツ関数とすると、その逆フーリエ変換は

\[
Pf(x) = \int_{\mathbb{R}^d} e^{ix \cdot \xi} p(x, i\xi) \hat{f}(\xi) d\xi
\]

と表されます。これは、\( P \) がフーリエ乗算作用素であることを示しています。

ベクトル束

\( E \) と \( F \) を閉多様体 \( X \) 上のベクトル束とし、\( P: C^{\infty}(E) \to C^{\infty}(F) \) を \( k \)-階の微分作用素とすると、\( X \) の局所座標において

\[
Pu(x) = \sum_{|\alpha| = k} P^{\alpha}(x) \frac{\partial^{\alpha} u}{\partial x^{\alpha}} + \text{(lower order terms)}
\]

と書くことができます。ここで、各多重指数 \( \alpha \) に対し \( P^{\alpha}(x): E \to F \) は束準同型で、指数 \( \alpha \) たちに関して対称です。

\( P \) の \( k \) 次の係数（最高次係数）は、\( X \) の余接束の \( k \)-次対称冪と \( E \) とのテンソル積から \( F \) への対称テンソル

\[
\sigma_P: S^k(T^X) \otimes E \to F
\]

として作用します。この対称テンソルは、\( P \) の主表象（あるいは単に表象）と呼ばれます。

座標系 \( x_i \) は、座標微分 \( dx_i \) によって余接束の局所自明化を行うことができて、ファイバー座標 \( \xi_i \) が決まります。\( E \) および \( F \) の標構基底をそれぞれ \( e_{\mu} \) および \( f_{
u} \) として、微分作用素 \( P \) を成分に分解すれば、\( E \) の各切断 \( u \) 上で

\[
(Pu)_{
u} = \sum_{\mu} P_{
u \mu} u_{\mu}
\]

と書くことができます。ここで \( P_{
u \mu} \) は

\[
P_{
u \mu} = \sum_{\alpha} P_{
u \mu}^{\alpha} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}
\]

で定義されるスカラー微分作用素です。この自明化に伴い、主表象は

\[
(\sigma_P(\xi) u)_{
u} = \sum_{|\alpha| = k} \sum_{\mu} P_{
u \mu}^{\alpha}(x) \xi_{\alpha} u^{\mu}.
\]

と書き表わせます。

\( X \) のある不動点 \( x \) に関する余接空間において、表象 \( \sigma_P \) は、\( \operatorname{Hom}(E_x, F_x) \) に値を取る \( T_x^X \) 内の次数 \( k \) の同次多項式を定義します。

微分作用素 \( P \) は、もしその表象が可逆であるなら、楕円型作用素です。ここで、表象が可逆であるとは、ゼロでない各 \( \theta \in T^X \) に対して束写像 \( \sigma_P(\theta, \dots, \theta) \) が可逆であることを意味します。

コンパクト多様体上では、楕円理論より、\( P \) はフレドホルム作用素となります。すなわち、\( P \) の核と余核は、有限次元です。

応用

微分作用素の表象は、偏微分方程式の分類や解の性質の研究に用いられます。例えば、線形楕円型偏微分方程式は、主表象が至る所零とならないものとして特徴付けられます。

また、双曲型偏微分方程式や放物型偏微分方程式の研究においては、主表象の零点は偏微分方程式の特性超曲面と対応します。したがって、表象はそれらの方程式の解に関する重要な概念であり、それらの解の特異性を調べる上で用いられる主要な道具の一つです。

関連項目

乗数 (フーリエ解析)
アティヤ＝シンガーの指数定理
演算子法

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