指標表

群論における指標表

群論は抽象代数学の一分野であり、群の性質を研究するための強力なツールです。その中で、指標表は与えられた群についての重要な情報を提供するものです。この指標表は、群の全ての既約表現の指標を整理した表です。指標とは、数学的な写像を通じて群の性質を明らかにするための数値であり、特に物理や化学の分野でもさまざまな応用が見られます。

定義と基本的な性質

指標表は、有限群 G に対する複素数体 C 上での既約表現 X: G → GLn(C) に基づきます。これに対し、写像 χ = Tr X: G → C を定義し、これを次数 n の既約指標と呼びます。興味深いのは、群 G の既約指標の数とその共役類の数が等しいことです。したがって、群 G の既約指標 χ1, …, χk と共役類の完全代表系 g1, …, gk を用いて次のような正方行列 T = [ χi(gj) ] を形成します。これは指標表と呼ばれるものです。指標は類関数であるため、指標表は矛盾なく特定できるものの、行や列の入れ替えを除いてしか構成できない特性があります。

直交関係

群 G の既約指標の集合を Irr(G) と定義し、群の元 g に対して gG を共役類、CG(g) を中心化群とします。

群論における重要な性質の一つとして直交関係があります。これは次の式で表現されます：

$$rac{1}{|G|} imes egin{pmatrix} ext{sum}_{g ext{ in } G} ext{ } χ(g) ar{ψ(g)} = δ_{χψ} ext{ for } χ, ψ ext{ in } Irr(G) \\ ext{ and } ext{ for all } g, h ext{ in } G ext{, it holds that } rac{1}{|C_{G}(g)|} ext{sum}_{χ ext{ in } Irr(G)} χ(g) ar{χ(h)} = δ_{g^G h^G} ext{ } \\}
$$

ここで |G| は群 G の位数を意味します。この直交関係から、群の位数と既約指標の次数の二乗和が等しいことが導き出されます。これにより、群の性質をさらに深めることが可能です。

既約表現への分解

可約な表現 R は、相似変換によってブロック行列形式に分解される場合があります。このブロック行列は、既約表現の仕様を示すことができ、指標の性質を踏まえることで、可約表現の既約表現への分解を行うことができます。また、それぞれの既約表現の重複度 ni は次の式によって計算されます：

$$ n_i = rac{1}{|G|} ext{sum}_{g ext{ in } G} χ_r(g) ar{χ_i(g)} $$

ここで、χ_i は既約表現の指標、χ_r は可約表現の指標を表します。この式は指標表の直交関係から派生し、簡約公式として知られています。

具体例

では、具体的な例を見てみましょう。3次対称群 S3 の場合、既約表現は次の三つの準同型写像から構成されます：

• - X1: G → GL1(C)
• - X2: G → GL1(C)
• - X3: G → GL2(C)

これにより、S3 の指標表が形成されます。

また、位数8の非可換群の指標表として、二面体群 D8 と四元数群 Q8 は異なる群でありながら、指標表は同一であるという興味深い事実もあります。これにより、指標表から群の同型を識別することが難しいことが理解されます。

結論

このように、群の指標表は群論だけでなく、化学や物理学の領域でも幅広く利用されており、群の性質を理解するための重要な手段であると言えます。

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