類関数

類関数の概念

群論における類関数とは、与えられた群上で定義され、共軛類に関して一定の値を持つ関数のことを指します。この性質を持つ関数は、数学的に非常に重要であり、特にコンパクト群の表現論において大きな役割を果たしています。

定義

群 G 上の関数 f が中心的または類関数であるとは、任意の元 s, t に対して、次の等式が成り立つ場合を指します。

$$
f(sts^{-1}) = f(t)
$$

この条件は、関数 f が群 G のすべての共軛類において一定の値を持つことを意味しています。また、別の視点から、全単射 (s, t) ↦ (u = st, v = s^{-1}) を考えることで、次の条件も同様に成り立ちます。

$$
f(uv) = f(vu)
$$

性質

可換体 K が与えられたとき、群 G は K への写像全体を構成する配置集合 KG に自然に作用します。このとき、G 上の K 値類関数はこの表現の不動点となります。したがって、これにより G 上の K 値類関数全体の集合は、ベクトル空間 KG の部分線型空間としての性質を持ちます。さらに、これらの類関数の成す空間は、G の共軛類全体の集合と自然に同型であることが示されています。

具体例

アーベル群に対しては、任意の関数が中心的とみなされます。なぜなら、アーベル群のすべての共軛類は単一の元から成るためです。アーベル群に値を持つ群準同型が与える関数も類関数の一例です。他にも、ねじれ群 G から自然数半群 ℕ∗ への写像が類関数の例として挙げられますが、これは各元にその位数を対応させるものです。

コンパクト群のヒルベルト空間

今、G をコンパクト群とし、その上のハール測度 λ を平行移動不変かつ唯一の確率測度として定義します。このとき、L2(G) は G 上の自乗 λ-可積分関数全体からなるヒルベルト空間になります。ここに二つの演算を導入できます。1つ目は、結合的で分配的な性質を持ち、定数関数 1 を単位元とする畳み込み積です。

$$
f g(s) = extcolor{blue}{
ightarrow ext{ ここに重要な式を挿入 }}
$$

2つ目は対合演算で、次のように定義されます。

$$
f(s) = ar{f(s^{-1})}
$$

このように L2(G) は対合バナハ環となり、さらにヒルベルト環の性質を持ちます。この環の研究は、G の連続表現に関係し、ピーター–ワイルの定理とも関連しています。

コンパクト群の指標

コンパクト群 G に対する有限次元連続表現とは、有界な複素ベクトル空間 V を対象とし、連続的な写像 ρ: G → GL(V) で表現されます。この際、付随する指標は次のように定義される類関数です。

$$
ext{tr} [
ho(s)]
$$

同値な二つの表現は同じ指標を持ちます。連続既約表現に対する指標は既約指標と呼ばれ、任意の既約指標は L2(G) に属します。また、互いに異なる既約指標は直交し、これらの全体は L2(G) のヒルベルト基底を形成します。特に有限群 G に対しては、既約表現の数が G の共軛類の数に等しくなる特性も重要です。

参考文献

• - Serre, Jean-Pierre (1977). Linear representations of finite groups. Graduate Texts in Mathematics. 42. Berlin: Springer-Verlag

このように、類関数は群論における中心的な概念であり、数学の諸分野において重要な位置を占めています。

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