擬似完全数

擬似完全数についての詳細

擬似完全数、またはセミパーフェクト数とは、自らを除いた特定の約数の合計が元の数と一致する自然数のことを指します。例えば、数40を考えると、約数は1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40ですが、1, 4, 5, 10, 20を選ぶことで、1 + 4 + 5 + 10 + 20 = 40となり、40は擬似完全数であると判断できます。このように、擬似完全数は全て合成数であり、数は無限に存在します。最も小さい擬似完全数は数6です。

擬似完全数を小さい順に並べると、以下のようになります。

• - 6
• - 12
• - 18
• - 20
• - 24
• - 28
• - 30
• - 36
• - 40
• - 42
• - 48
• - 54
• - 56
• - 60
• - 66
• - 72
• - 78
• - 80
• - 84
• - 88
• - 90
• - 96
• - 100
• - 102

特に、奇数の擬似完全数の中で最も小さいものは945です。擬似完全数の倍数は再び擬似完全数であり、したがって偶数と奇数の擬似完全数は無数に存在します。一般的に、nを自然数、pを2n+1より小さい奇素数とした場合、2npという形で表される数もすべて擬似完全数になります。

擬似完全数は、全て完全数または過剰数で構成されており、特にすべての完全数は擬似完全数でもあります。しかし、過剰数であるにもかかわらず擬似完全数ではない数も多く存在し、これらの数は不思議数と呼ばれています。

原始擬似完全数

擬似完全数の中で、他の擬似完全数を約数に持たないものを原始擬似完全数と呼びます。原始擬似完全数は無限に存在しており、その中で最小の数も6です。小さい順に並べると、以下のようになります。

• - 6
• - 20
• - 28
• - 88
• - 104
• - 272
• - 304
• - 350
• - 368
• - 464
• - 490
• - 496
• - 550
• - 572
• - 650
• - 748
• - 770
• - 910
• - 945
• - 1184

奇数の原始擬似完全数も無数に存在しており、調和数ではない原始擬似完全数も数多く見られます。

その他の擬似完全数に関する情報

完全数の約数は全て不足数である特性があります。例えば、90は擬似完全数ですが、その約数の中から不足数のみを加えても90になるという特性を持っています。一般的に、自然数aに対して、σ(a) - 2a = 1（ここでσは約数関数）を満たす時にこの数も擬似完全数とされています。しかし、実際にこの条件を満たす自然数aが存在するかどうかは明らかではなく、現在の数学の知見ではその解は不明です。

参考文献

• - 完全数
• - 過剰数
• - 不思議数

特定の数の特性や分類方法を知ることで、数学の奥深さを感じることができます。

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