超球面

n次元 球面とは

数学において、n次元球面（n-sphere）とは、通常の球面の概念をn次元空間へと一般化したものです。具体的には、n次元球面は、(n+1)次元ユークリッド空間において、ある中心点から一定の距離（半径）にある全ての点の集合として定義されます。この半径は任意の正の実数を取り得ます。原点を中心とするn次元球面は以下の式で表されます。

Sⁿ = {x ∈ ℝⁿ⁺¹ : ||x|| = r}

ここで、`Sⁿ`はn次元球面、`x`は(n+1)次元空間の点、`||x||`は点xの中心からの距離（ノルム）、`r`は半径を表します。

具体的な例

0[[次元]]球面: これは2つの点からなり、線分の両端に相当します。
1次元球面: これは円であり、円板の境界です。
2[[次元]]球面: これは通常の球面であり、球体の表面です。

次元が2を超える球面は超球面（hypersphere）と呼ばれることもあります。特に3[[次元]]球面はグローム（glome）とも呼ばれます。

半径1で原点中心のn次元球面は、単位n次元球面と呼ばれ、しばしば`Sⁿ`と表記されます。これは「n-sphere」とも呼ばれます。

n次元球面の性質

n次元球面は、(n+1)次元球体の境界であり、n次元多様体です。
n ≥ 2の場合、n次元球面は正の定曲率を持つ単連結なn次元多様体です。
n次元球面は、n次元ユークリッド空間の1点コンパクト化、n次元超立方体の境界を一点と同一視、(n-1)次元球面の懸垂など、さまざまな方法で構成できます。

n次元 球面の定義

n次元球面は、(n+1)次元ユークリッド空間において、ある固定点cから距離rにある点の集合として定義されます。ここで、rは任意の正の実数、cは(n+1)次元空間の任意の点です。

具体的には、

0[[次元]]球面は、点対 `{c-r, c+r}`であり、線分の境界です。
1次元球面は、中心c、半径rの円であり、円板の境界です。
2[[次元]]球面は、3[[次元]]空間内の通常の球面であり、球体の境界です。
3[[次元]]球面は、4[[次元]]ユークリッド空間内の球面です。

(n+1)次元空間におけるn次元球面`Sⁿ`は、以下の式で表されます。

r² = Σ(xi - ci)² (i = 1 から n+1)

ここで、`(x₁, x₂, ..., xₙ₊₁)`は(n+1)次元空間の点の座標、`(c₁, c₂, ..., cₙ₊₁)`は中心点の座標、`r`は半径です。

体積形式

半径rのn次元球面の体積形式ωは以下のように与えられます。

ω = (1/r) Σ (-1)⁽ʲ⁻¹⁾xⱼ dx₁ ∧ ... ∧ dxⱼ₋₁ ∧ dxⱼ₊₁ ∧ ... ∧ dxₙ₊₁ = dr

ここで、はホッジスター作用素です。

また、`dr ∧ ω = dx₁ ∧ ... ∧ dxₙ₊₁`が成り立ちます。

n次元 球体

n次元球面によって囲まれる有界領域は(n+1)次元球体と呼ばれます。(n+1)次元球体は、n次元球面を含む場合は閉集合、含まない場合は開集合です。

具体例として、

1次元球体は線分です。
2[[次元]]球体は円板です。
3[[次元]]球体は通常の球体です。
4[[次元]]球体は3[[次元]]球面の内部です。

位相幾何学的な記述

位相幾何学的には、n次元球面はn次元ユークリッド空間の1点コンパクト化として構成できます。つまり、n次元球面は`Sⁿ = ℝⁿ ∪ {∞}`として記述でき、これはn次元ユークリッド空間に無限遠点を一つ追加したものです。特に、n次元球面から1点を除くと、それは`ℝⁿ`と同相になります。

これは立体射影の原理に基づいています。

体積と表面積

n次元ユークリッド空間内のn次元球体および(n+1)次元ユークリッド空間内のn次元球面の体積は、半径Rのn乗に比例します。半径Rのn次元球体の体積をVₙ(R) = VₙRⁿ、n次元球面の体積をSₙ(R) = SₙRⁿと書くと、これらの比例定数の数列Vₙ, Sₙには以下のような関係があります。

漸化式

n次元球面の「表面積」は、(n+1)次元球体の体積との間に以下の関係があります。

SₙRⁿ = d(Vₙ₊₁Rⁿ⁺¹)/dR = (n+1)Vₙ₊₁Rⁿ

単位(n+1)次元球体を無数の同心n次元「球殻」の合併として表すことにより

Vₙ₊₁ = ∫₀¹Sₙrⁿdr = Sₙ/(n+1)

が得られます。
(n+2)次元単位球面を円とn次元球面の直積として表すこともでき、`Sₙ₊₂ = 2πVₙ₊₁`が得られます。
これらの漸化式をまとめると、

V₀ = 1, Vₙ₊₁ = Sₙ/(n+1), S₀ = 2, Sₙ₊₁ = 2πVₙ

となります。

閉じた形

上記の漸化式から、Vₙ₊₂ = 2πVₙ/(n+2)が得られ、以下のように表現できます。

V₂ₖ = πᵏ/k!, V₂ₖ₊₁ = 2(2π)ᵏ/(2k+1)!!

n次元単位球体の体積は、ガンマ関数を用いて以下のように一般化できます。

Vₙ = πⁿ/² / Γ(n/2 + 1)

また、n次元球面の表面積は以下のように表されます。

Sₙ₋₁ = 2πⁿ/² / Γ(n/2)

その他の関係

漸化式からは、以下の「逆向き」の漸化関係を得ることができます。

Sₙ₋₁ = (n/(2π))Sₙ₊₁

この漸化式を用いて、以下の関係も導出できます。

Vₙ = (2π/n)Vₙ₋₂, Sₙ₋₁ = (2π/(n-2))Sₙ₋₃

さらに、Vₙに対する漸化関係は、2[[次元]]極座標での積分によっても証明できます。

球座標系

3[[次元]]ユークリッド空間における球面座標系と同様に、n次元ユークリッド空間にも球座標系を定義できます。この座標系は、動径座標rとn-1個の偏角座標`φ₁, φ₂, ..., φₙ₋₁`から構成されます。

直交座標`x₁, x₂, ..., xₙ`は、これらの座標から以下のように計算できます。

x₁ = r cos(φ₁)
x₂ = r sin(φ₁) cos(φ₂)
x₃ = r sin(φ₁) sin(φ₂) cos(φ₃)
...
xₙ₋₁ = r sin(φ₁) ... sin(φₙ₋₂) cos(φₙ₋₁)
xₙ = r sin(φ₁) ... sin(φₙ₋₂) sin(φₙ₋₁)

逆変換も可能で、以下のようになります。

r = √(xₙ² + xₙ₋₁² + ... + x₂² + x₁²)
φ₁ = arccot(x₁/√(xₙ² + xₙ₋₁² + ... + x₂²))
φ₂ = arccot(x₂/√(xₙ² + xₙ₋₁² + ... + x₃²))
...
φₙ₋₂ = arccot(xₙ₋₂/√(xₙ² + xₙ₋₁²))
φₙ₋₁ = 2arccot((xₙ₋₁ + √(xₙ² + xₙ₋₁²))/xₙ)

これらの式により、n次元空間における点と球座標が相互に変換可能です。

球面体積要素

ラジアンで角度を表すとき、n次元ユークリッド空間における体積要素は、以下のヤコビアンから求められます。

dⁿV = |det ∂(xᵢ)/∂(r, φⱼ)| dr dφ₁ dφ₂ ... dφₙ₋₁ = rⁿ⁻¹ sinⁿ⁻²(φ₁) sinⁿ⁻³(φ₂) ... sin(φₙ₋₂) dr dφ₁ dφ₂ ... dφₙ₋₁

n次元球の体積は、この体積要素を積分することによって得られます。

立体射影

2[[次元]]球面が平面に立体射影できるのと同様に、n次元球面もn次元超平面に立体射影できます。半径1のn次元球面の立体射影は、以下のように与えられます。

[x₁, x₂, ..., xₙ] → [x₁/(1-xₙ), x₂/(1-xₙ), ..., xₙ₋₁/(1-xₙ)]

ランダムな点の生成

n次元球面から一様にランダムな点を生成する方法として、以下のアルゴリズムがあります。

1. 正規分布に従うn次元ベクトル `x = (x₁, x₂, ..., xₙ)` を生成します。
2. ベクトルの半径 `r = √(x₁² + x₂² + ... + xₙ²)` を計算します。
3. ベクトル `(1/r)x` は、単位n次元球面上に一様分布しています。

また、超立方体上の一様分布から超球面上へ射影する方法もあります。

具体的な球面

0[[次元]]球面: 離散位相を持つ点の対 {±R}。
1次元球面: 円。
2[[次元]]球面: 通常の球面。
3[[次元]]球面: 平行化可能、2[[次元]]球面上主U(1)束、リー群構造を持つ。
4[[次元]]球面: 四元射影直線HP¹。
5次元球面: CP²上の主U(1)束。
6次元球面: 純単位八元数の集合から来る概複素構造。
7次元球面: 単位八元数の集合としての位相的擬群構造。
8次元球面: 八元射影直線OP¹。
23[[次元]]球面: 最も高密度な球充填が可能な次元。

参考文献

Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications.
Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Experiencing geometry: on plane and sphere. Prentice Hall.
Weeks, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds. Marcel Dekker.
Marsaglia, G. (1972). “Choosing a Point from the Surface of a Sphere”. Annals of Mathematical Statistics 43 (2): 645–646.
Huber, Greg (1982). “Gamma function derivation of n-sphere volumes”. Am. Math. Monthly 89 (5): 301–302.
Barnea, Nir (1999). “Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction”. Phys. Rev. A 59 (2): 1135–1146.

この文章は、n次元球面についての理解を深めるために、その定義、性質、様々な表現方法を詳細に解説しています。参考文献も挙げていますので、さらに深く学びたい方は参考にしてください。

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