曲率形式

曲率形式について

微分幾何学では、曲率形式（curvature form）が重要な概念となります。これは、主バンドル上の接続形式から由来する曲率を示し、リーマン幾何学においてはリーマン曲率テンソルと密接に関係しています。曲率形式は、幾何学的な対象の性質を理解するうえで欠かせない役割を果たします。

定義と背景

まず、リー代数 𝔤 を持つリー群 G を考え、これに基づく主 G-バンドル P → B の存在を確認します。P 上にエーレスマン接続 (Ehresmann connection) ω を定義します。エーレスマン接続は、主バンドル上のリー代数 𝔤 に値を持つ1-形式です。曲率形式は次のように定義されます。

$$
Ω = dω + \frac{1}{2}[ω, ω] = Dω
$$

ここで、d は外微分を、[・,・] はリード括弧を表し、D は共変外微分です。この定義は、曲率形式がどのように計算されるかを示しており、接続形式の情報を通じて幾何学的な特性を反映しています。

ベクトルバンドルにおける曲率形式

次に、ベクトルバンドル E → B の場合について考えます。この場合、ω を1-形式の行列と見なすことができ、上記の曲率形式は次のように構成されます。

$$
Ω = dω + ω ∧ ω
$$

ここで、∧ はウェッジ積を示します。また、ω の成分を ω_{j}^{i}、曲率形式の成分を Ω_{j}^{i} とし、次のように表現できます。

$$
Ω_{j}^{i} = dω_{j}^{i} + \sum_{k} ω_{k}^{i} ∧ ω_{j}^{k}
$$

この式は、リーマン多様体の接バンドルにおける具体的な応用を示しています。ここで、構造群は O(n) となり、曲率形式 Ω は O(n) のリー代数に属する2-形式となります。この場合、曲率形式 Ω は曲率テンソルとしても記述され、次のような関係が成り立ちます。

$$
R(X, Y) = Ω(X, Y)
$$

ビアンキ恒等式

さらに、標準 1-形式 θ が標構バンドル上のベクトルを持つ場合、接続形式 ω からトーション Θ を定義できます。トーション Θ は、次の構造方程式によって説明されます。

$$
Θ = dθ + ω ∧ θ = Dθ
$$

ここでの D は共変外微分を意味します。第一ビアンキ恒等式は次のように表されます。

$$
DΘ = Ω ∧ θ
$$

第二ビアンキ恒等式は、一般的な主バンドルの任意の接続に対しても成り立ち、次の式で示されます。

$$
DΩ = 0
$$

参考文献

深い理論的背景を得るためには、Shoshichi Kobayashi と Katsumi Nomizu の著書「Foundations of Differential Geometry」を参照することをお勧めします。この文献では、曲率形式や構造方程式の詳細な説明が述べられています。

おわりに

このように、微分幾何学における曲率形式は、様々な幾何的対象の性質を理解するための強力な道具です。その結果、物理学や他の数学的分野への応用も広がっています。

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