樽型空間

樽型空間 (Barrelled Space)

函数解析学や関連分野で用いられる「樽型空間」（barrelled space）は、ある特定の位相的性質を持つ位相線型空間の一種です。この空間はハウスドルフ空間であり、その定義の核心は、すべての「樽型集合」が零ベクトル（原点）の近傍になっているという点にあります。

樽型集合とは

樽型空間を理解するためには、まず「樽型集合」（barrel）という概念を知る必要があります。位相線型空間における樽型集合とは、以下の四つの性質をすべて満たす部分集合のことを指します。

1. 凸性: 集合内の任意の二点を結ぶ線分がすべて集合に含まれる。
2. 均衡性: 集合内の点の任意のスカラー倍（スカラーの絶対値が1以下）が集合に含まれる。
3. 併呑性: 空間内の任意の点に対し、その点のスカラー倍で集合に含まれるものが存在する（言い換えれば、集合を拡大すれば空間全体を覆える）。
4. 閉集合: 集合の境界点を含む。

樽型空間は、このような性質を持つ樽型集合が、必ず空間の零ベクトル（原点）の近傍として機能するという性質を持った空間なのです。

研究される理由と重要性

樽型空間が数学、特に函数解析学で研究される大きな理由の一つは、この空間上で「バナッハ＝シュタインハウスの定理」（一様有界性原理）に類する非常に有用な定理が成り立つことにあります。この定理は、連続線型写像族の一様有界性に関するもので、樽型空間の文脈でその適用範囲が広がります。

歴史

樽型空間という概念は、著名な数学者のグループであるニコラ・ブルバキによって、1950年に発表された論文の中で初めて導入されました。

具体例

いくつかの位相線型空間は樽型空間であることが知られています。

フレシェ空間やバナッハ空間: これらは樽型空間の代表的な例です。バナッハ空間はフレシェ空間の特別な場合です。
モンテル空間: この種の空間も樽型空間となります。また、モンテル空間の強双対空間も再びモンテル空間となるため、樽型空間です。
ベール空間でもある局所凸空間: これらも樽型空間です。

一方で、より一般的な空間では必ずしも樽型になりません。例えば、一般的なノルム線型空間や、単に局所凸空間であるだけでは、樽型空間になるとは限りません。半ノルム線型空間における閉単位球は樽型集合の一例ですが、これは空間全体が樽型であることとは異なります。

性質

ハウスドルフかつ局所凸な位相線型空間 X が樽型空間であることは、様々な興味深い性質と同値であることが知られています。その一部を挙げます。

X の連続双対空間 X' のすべての弱有界部分集合が同程度連続である（これはバナッハ＝シュタインハウスの定理の一種の逆定式化と見なせます）。強有界な部分集合や相対弱コンパクトな部分集合が同程度連続であることとも同値です。
空間 X 上で定義されたすべての「下半連続な半ノルム」が連続関数であることと同値です。
空間 X が、その連続双対空間 X' との間に定義される強位相 β(X, X') を備えることと同値です。

また、点列完備な準樽型空間は樽型空間になります。しかし、樽型空間だからといって、モンテル空間、完備空間、距離化可能な空間、特定の種類のベール空間、あるいはバナッハ空間の帰納極限であるとは限りません。

参考文献

この概念に関するより詳細な情報は、以下の専門文献などを参照してください。

Bourbaki, Nicolas (1950). “Sur certains espaces vectoriels topologiques”. Annales de l'Institut Fourier 2: 5–16.
Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1964). Topological vector spaces. Cambridge University Press.
Schaefer, Helmut H. (1971). Topological vector spaces. Springer-Verlag.
Khaleelulla, S.M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Springer-Verlag.

外部リンク

barrel - PlanetMath.（英語）
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Barrelled space”, Encyclopedia of Mathematics, Springer.

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