ベール空間

数学の位相空間論において、ベール空間（Baire space）は、ルネ＝ルイ・ベールによって導入された重要な概念です。この空間は、直感的には非常に豊かで、ある種の極限操作を行うために「十分多くの」要素を含んでいると捉えられます。

導入の背景

任意の位相空間では、「内点を持たない閉集合」という種類の集合は、ある意味で「無視できるほど小さい」と見なすことができます。これらの集合は、稠密な開集合の境界を構成します。具体的な例としては、有限な点集合や、平面上の滑らかな曲線などが挙げられます。ベール空間という概念は、このような「無視できる」集合の可算個の合併では決して覆い尽くされない、つまり「十分大きな」空間を特徴づけるために導入されました。例えば、3次元ユークリッド空間は、可算個の平面の合併として表すことはできません。

定義

ベール空間の厳密な定義は、研究の進展とともにわずかに形を変えてきました。ここでは、現代で一般的に受け入れられている定義と、ベール自身が与えたオリジナルの定義の両方を紹介します。

現代的な定義
位相空間 `X` がベール空間であるとは、内部が空であるような任意の可算個の閉集合 `C_1, C_2, ...` の合併 `∪ C_i` の内部もまた空になることを言います。

この定義は、以下のようないくつかの同値な条件で言い換えることができます。

可算個の稠密開集合の交わりは常に稠密である。
可算個の痩せた閉集合の合併の内部は空である。
`X` の可算個の閉集合の合併が内点を持つならば、その合併に含まれる閉集合のうち少なくとも一つは内点を持つ。

歴史的な定義
ベールは、彼の定義の中で「範疇」（category）という概念を導入しました。位相空間 `X` の部分集合 `A` について、次のように定義されます。

`A` が疎（至る所疎、nowhere dense）であるとは、その閉包の内部が空であること。
`A` が第一類（痩せている、meagre）であるとは、可算個の疎集合の合併として表されること。
`A` が第二類（痩せていない、nonmeagre）であるとは、第一類でないこと。

これらの用語を用いて、ベールはベール空間を「空でない任意の開集合が第二類である位相空間 `X`」と定義しました。この歴史的な定義は、現代的な定義と同値であることが知られています。また、部分集合 `A` が残留的（residual, comeagre）であるとは、その補集合 `X ∖ A` が第一類であることと定義されます。ベール空間であることは、任意の残留的部分空間が稠密であることと同値です。

例

いくつかの具体的な例を挙げます。

実数全体の集合 `R` に通常の位相を入れた空間はベール空間です。したがって、`R` は自身において第二類となります。
`R` の部分集合としての有理数全体の集合 `Q` は、`R` において第一類です。
`R` の部分集合としての無理数全体の集合 `P` は、`R` において第二類です。
カントル集合 `C` は、自身に相対位相を入れた空間としてはベール空間であり、自身において第二類です。しかし、単位閉区間 `[0, 1]` の部分集合としては第一類です。
`R` において第二類でありながら、ルベーグ測度がゼロであるような集合の例も存在します。
`R` から誘導される通常の位相を持った有理数全体の集合 `Q` 自身は、ベール空間ではありません。これは、`Q` が可算個の singleton `{q}`（これは `Q` において内点を持たない閉集合）の合併として書け、その合併 `Q` 自身が内点を持つためです（現代的定義に反する）。

ベールの範疇定理

ベールの範疇定理は、ある位相空間がベール空間になるための十分条件を与える極めて重要な定理であり、位相空間論や関数解析学において広く応用されます。

(BCT1) 任意の完備距離空間はベール空間です。より一般に、何らかの完備擬距離空間の開部分集合と同相であるような位相空間（位相的完備空間）はベール空間となります。この定理から、実数空間 `R`、無理数空間 `P`、カントル集合 `C`、そして任意のポーランド空間（完備距離付け可能かつ可分な空間）がベール空間であることが導かれます。
(BCT2) 任意の局所コンパクトハウスドルフ空間はベール空間です。この結果は、距離付け可能でない多様体などもベール空間であることを示しています。

性質

ベール空間は次のような重要な性質を持ちます。

空でないベール空間 `X` は、常に自身において第二類です。また、`X` の稠密開集合からなる任意の可算族の交わりは空ではありません（実際は稠密です）。ただし、これらの主張の逆は必ずしも成り立ちません。
ベール空間の空でない任意の開部分空間もまたベール空間です。
* 連続写像の列 `f_n: X → Y` が点ごとに極限 `f: X → Y` に収束する場合、もし `X` がベール空間ならば、極限写像 `f` が連続にならない点の集合は `X` において第一類（痩せた集合）となります。これにより、連続点の集合は `X` において稠密となります。この性質は、関数解析学における一様有界性原理（バナッハ・シュタインハウスの定理）の証明にも用いられます。

ベール空間の概念とベールの範疇定理は、位相構造を持つ空間の性質を深く理解し、多くの重要な数学的結果を得るための基本的な道具となっています。

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