正の数と負の数

正の数と負の数：数学における基礎概念

数学において、0より大きい実数を正の数、0より小さい実数を負の数と定義します。初等数学の範囲では、文脈によっては正の整数や正の有理数のみを指して「正の数」と呼ぶ場合もあります。負の数についても同様です。正の数と負の数は、数の大小関係や演算において重要な役割を果たします。

符号関数と複素符号関数

実数の符号を表す関数として、符号関数sgn(x) があります。これは、xが正数なら1、負数なら-1、0なら0を返す関数です。数式で表すと以下のようになります。


sgn(x) =
{
-1 : x < 0
0 : x = 0
1 : x > 0
}


また、複素数の符号を表す複素符号関数csgn(x) も定義できます。これは、実数の場合と同様に、xが正数なら1、負数なら-1、0なら0を返す関数です。複素数の大小関係は、実部と虚部の大小関係によって定義されます。

符号付き数の算術演算

正の数と負の数を含む算術演算は、以下の規則に従います。

加算と減算

加算と減算は、正数を資産、負数を負債と見なすことで理解しやすくなります。負数を足すことは対応する正数を引くこと、負数を引くことは対応する正数を足すことに相当します。例を挙げると、

9 - 5 = 4
7 - (-2) = 9
-4 + 12 = 8
5 + (-3) = 2
* -2 + (-5) = -7

減算と負符号の混同を避けるため、負符号を上付き文字で表記したり、会計では「△」を用いたりすることもあります。

乗算

負数を掛けることは、数の正負を反転させる操作に相当します。正数×正数=正数、正数×負数=負数、負数×正数=負数、負数×負数=正数となります。これは、乗算を加算の繰り返しと見なすことで理解できます。

除算

除算も乗算と同様に、負数で割ることは正負を反転させます。被除数と除数の符号が異なれば商は負数となり、同じ符号であれば正数となります。

累乗

累乗において、指数が正数であれば「n乗」に倍増され、負数であれば「1/n乗」に分割されます。つまり、指数が正数なら乗算の繰り返し、負数なら除算の繰り返しとなります。

負の整数と負でない整数の形式的構成

整数の集合は、自然数の順序対を用いて形式的に構成できます。自然数の順序対(a, b)を整数a-bと見なし、加法と乗法を定義することで、整数の集合を自然数の集合から拡張できます。

負数の歴史

負数の概念は、古代中国の『九章算術』や古代インドの『バクシャーリー写本』などに既に現れています。しかし、ヨーロッパでは17世紀まで負数の概念が広く受け入れられませんでした。負数は長らく「誤り」や「不自然な数」として扱われ、その数学的な意味合いが完全に理解されるまでには長い時間を要しました。様々な数学者たちが負数の性質を解明し、その扱い方を確立していく過程において、負数の概念は次第に洗練されていきました。

一般化：正行列、正定値行列、正錐

正負の概念は、行列や抽象代数学においても拡張されます。正行列、正定値行列、そして抽象代数学における正錐といった概念は、それぞれ異なる文脈で正負の性質を定義しています。正錐は、実数全体の集合やより一般的な順序構造において重要な役割を果たす概念であり、様々な数学的対象における正負の概念を統一的に扱うための枠組みを提供しています。

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