減衰振動

減衰振動：振幅が減少する振動現象

減衰振動とは、時間の経過とともに振動の振幅が次第に小さくなる現象です。摩擦や空気抵抗などの抵抗力が作用することで、理想的な単振動のように永久に振動が続くことはなく、最終的には静止状態になります。

運動方程式

減衰振動の最も基本的なモデルは、ばねと質点、そして減衰要素（ダンパー）を組み合わせた調和振動子モデルです。このモデルでは、速度に比例する抵抗力が作用すると仮定します。

質点の質量を m 、ダンパーの減衰係数を c 、ばね定数を k 、時刻 t における質点の位置を x(t) とすると、運動方程式は次の線形微分方程式で表されます。

math
m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = 0


ここで、上付きのドットは時間微分を表します。初期条件として、時刻 t=0 における位置 x(0) = x₀ と速度 \dot{x}(0) = v₀ を与えます。c は粘性減衰係数と呼ばれ、減衰力の大きさを決定する重要なパラメータです。このモデルは線形1自由度振動系として知られています。

簡略表現と無次元化

運動方程式は、臨界減衰係数 c꜀ = 2√(mk) 、減衰比 ζ = c/c꜀ 、固有角振動数 ω₀ = √(k/m) を用いて次のように簡略化できます。

math
\ddot{x}(t) + 2ζω₀\dot{x}(t) + ω₀²x(t) = 0


さらに、無次元時間 τ = ω₀t 、無次元振幅 χ = x/x₀ 、無次元初期速度 σ = v₀/(x₀ω₀) を導入することで、運動方程式を無次元化できます。

math
χ''(τ) + 2ζχ'(τ) + χ(τ) = 0


ここで、プライムは τ に関する微分を表します。この無次元化によって、系の挙動は減衰比 ζ と無次元初期速度 σ の2つのパラメータのみによって決定されることがわかります。

解と減衰の種類

減衰比 ζ の値によって、解の性質が大きく異なります。

不減衰振動 (ζ = 0): 振幅が減衰しない、単純な正弦波振動となります。
減衰振動 (0 < ζ < 1): 振幅が指数関数的に減衰する正弦波振動となります。これは不足減衰と呼ばれ、狭義の減衰振動に相当します。減衰固有角振動数 ωd = ω₀√(1-ζ²) は、不減衰時の固有角振動数よりも小さくなります。
臨界減衰 (ζ = 1): 最速で振動が減衰する状態です。振動せずに単調に静止状態に近づきます。
過減衰 (ζ > 1): 減衰が大きすぎるため、振動することなく単調に静止状態に近づきます。

これらの解は、三角関数、指数関数、双曲線関数などを用いて表現できます。

エネルギーの散逸

減衰振動系では、ダンパーによる抵抗力のために系の力学的エネルギーが散逸します。系のエネルギー W は、運動エネルギーと弾性エネルギーの和で表され、その時間変化は減衰係数 c に比例して減少します。

math
\frac{dW}{dt} = -c\dot{x}² ≤ 0


系全体のエネルギー減少の度合いは、Q値 (Q = 1/(2ζ)) で表すことができます。Q値が高いほど減衰が小さく、エネルギーの散逸が少ないことを示します。

減衰の種類

上記のモデルは粘性減衰（減衰力が速度に比例）を仮定していますが、実際には様々な減衰モデルがあります。

粘性減衰: 速度に比例する減衰力。層流状態の流体抵抗などで現れます。
速度二乗減衰: 速度の二乗に比例する減衰力。乱流状態の流体抵抗などで現れます。
クーロン摩擦減衰: 速度に依存しない一定の減衰力。乾燥摩擦などで現れます。
ヒステリシス減衰: 粘弾性材料の内部摩擦による減衰力。ゴムなどに見られます。

解析力学による表現

減衰振動は、ラグランジアンを用いた解析力学でも記述できます。適切なラグランジアンと正準変換を用いることで、時間変化しない保存量を持つ保存系として表現できます。

まとめ

減衰振動は、現実世界の多くの振動現象を理解するために不可欠な概念です。本記事では、その基礎となる運動方程式から、様々な減衰モデル、そして解析力学的な取り扱いまでを解説しました。これらの知識は、機械設計や制御工学など、幅広い分野で応用されています。

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