直交ミラーフィルタ

直交ミラーフィルタ (Quadrature Mirror Filter: QMF) の詳細解説

直交ミラーフィルタ（QMF）は、デジタル信号処理におけるフィルタバンクの一種で、特にサンプリング周波数の1/4の周波数に対して対称な特性を持つ2つのフィルタを組み合わせることで、信号処理における折り返し雑音を効果的に除去する技術です。

概要

信号を複数の周波数帯域に分割して処理する技術は、様々な信号処理、例えば音声や画像の符号化において重要な役割を果たしています。この処理では、入力信号をフィルタを用いて複数の周波数成分に分解し、それぞれの成分をダウンサンプリングして処理します。そして、元の信号を復元する際には、各信号をアップサンプリングした後に再びフィルタをかけ、必要な周波数成分のみを取り出して合成します。

しかし、通常のフィルタでは、フィルタの不完全な周波数特性のためにサンプリング時に隣り合う周波数成分による折り返し雑音が発生し、結果として元の信号とは異なる信号になってしまうことがあります。特にオーディオ信号では、これが音の歪みとして知覚されることがあります。

QMFは、この折り返し雑音をキャンセルする特別な制約をフィルタに設けることで、この問題を解決します。これにより、折り返し雑音がなく、さらに元の信号を完全に復元する完全再構成も可能になる場合があります。

折り返し雑音の除去

QMFの基本的な構成は、信号を分析するステージと合成するステージの2つからなります。分析ステージでは、入力信号をローパスフィルタ（H0）とハイパスフィルタ（H1）を用いて2つの帯域に分割し、それぞれをダウンサンプリングします。合成ステージでは、ダウンサンプリングされた信号をアップサンプリングした後、フィルタ（G0, G1）を通して合成します。

この構成における出力信号 `X̂(z)` は、Z変換を用いて次のように表すことができます。

math
{\displaystyle {\hat {X}}(z)={\frac {1}{2}}X(z)\left(H_{0}(z)G_{0}(z)+H_{1}(z)G_{1}(z)\right)+{\frac {1}{2}}X(-z)\left(H_{0}(-z)G_{0}(z)+H_{1}(-z)G_{1}(z)\right)}

この式で、最初の項は信号成分、2番目の項は折り返し成分を表します。したがって、折り返し雑音をなくすためには、次の条件を満たす必要があります。

math
{\displaystyle H_{0}(-z)G_{0}(z)+H_{1}(-z)G_{1}(z)=0}

QMFでは、この条件を満たすために以下の制約が設けられます。

1. QMF対称性制約:

math
{\displaystyle H_{1}(z)=H_{0}(-z)}

2. フィルタG0の定義:

math
{\displaystyle G_{0}(z)=H_{1}(-z)=H_{0}(z)}

3. フィルタG1の定義:

math
{\displaystyle G_{1}(z)=-H_{1}(z)=-H_{0}(-z)}

これらの制約により、分析フィルタH0とH1は周波数に対して対称な特性を持つようになり、複素平面上での鏡映対称性から「直交ミラー」フィルタと呼ばれます。

時間領域での関係

時間領域における各フィルタの関係は以下のようになります。

math
{\displaystyle h_{1}[n]=(-1)^{n}h_{0}[n]}

math
{\displaystyle g_{0}[n]=h_{0}[n]}

math
{\displaystyle g_{1}[n]=-(-1)^{n}h_{0}[n]}

これらの関係から、2チャネルQMFの特性はローパスフィルタH0から導出できることが分かります。

信号の完全再構成

折り返し雑音の除去だけでは、信号の完全再構成（Perfect Reconstruction: PR）を保証するものではありません。完全再構成のためには、以下の条件を満たす必要があります。

math
{\displaystyle H_{0}(z)G_{0}(z)+H_{1}(z)G_{1}(z)=2z^{-l}}

ここで l は遅延を表す非負整数です。

この条件と折り返し雑音除去の条件を組み合わせることで、QMFにおける完全再構成の制約は以下のようになります。

math
{\displaystyle H_{0}^{2}(z)-H_{0}^{2}(-z)=2z^{-l}}

この条件を満たすフィルタの例として、ハールフィルタがあります。ハールフィルタを用いると、1サンプル遅延で元の信号を完全に再構成できます。

しかし、より高次のFIRフィルタでは完全再構成の条件を満たすことが難しいことが知られており、近似的に条件を満たす疑似QMFが用いられます。また、IIRフィルタでは、完全再構成が可能な特性の良いフィルタを構成できます。

共役直交フィルタ (Conjugate Quadrature Filter: CQF)

QMF以外にも、以下の条件を満たすフィルタバンクも信号の完全再構成が可能です。

math
{\displaystyle H_{0}(-z)G_{0}(z)+H_{1}(-z)G_{1}(z)=0}

math
{\displaystyle H_{0}(z)G_{0}(z)+H_{1}(z)G_{1}(z)=2z^{-l}}

このようなフィルタの一例として、共役直交フィルタ（CQF）があります。CQFでは、分析フィルタと合成フィルタが時間反転の関係を持ちます。

マルチチャネルフィルタバンク

多くの応用では、2チャネル以上のフィルタバンクが必要になります。マルチチャネルのQMFやCQFは、2チャネルの場合と同様の原理を用いて構成できます。最も単純な構成は、2チャネルフィルタバンクを木構造に接続する方法です。この方法では、各2チャネルフィルタバンクが完全再構成を満たせば、全体のフィルタも完全再構成が可能になります。

より直接的な方法としては、M個の分析フィルタと合成フィルタを並列に並べる方法もあります。この構成は複雑ですが、完全再構成の制約条件を満たすフィルタの組み合わせによって、高い性能を実現できます。

フィルタバンクと離散ウェーブレット変換

QMFやCQFによるフィルタバンクは、離散ウェーブレット変換（DWT）の理論と密接に関係しています。特に、オクターブバンド構成のフィルタバンクは、2進DWTに等価であることが知られています。

このように、信号処理と応用数学で別々に発展してきたフィルタバンクとウェーブレット変換は、近年、一つの理論の異なる側面として扱われるようになっています。

まとめ

直交ミラーフィルタ（QMF）は、折り返し雑音の除去と信号の完全再構成を可能にする強力なツールです。オーディオや画像の符号化など、さまざまな分野で広く利用されており、今後もその重要性は増していくと考えられます。

参考文献

Andreas Spanias, Ted Painter, Venkatraman Atti. Audio signal processing and coding. Wiley-Interscience, John Wiley & Sons, Inc., 2007. ISBN 978-0471791478.
Martin Vetterli, Jelena Kovacevic. Wavelets and Subband Coding.(PDF) Prentice Hall PTR, 1995. ISBN 978-0130970800.
P. P. Vaidyanathan. Multirate Systems And Filter Banks. Prentice Hall PTR, 1993. ISBN 978-0136057185
Julius Orion Smith III. “Quadrature Mirror Filters (QMF)”. CCRMA, Stanford University. 2010年12月10日閲覧。
Julius Orion Smith III. “Conjugate Quadrature Filters (CQF)”. CCRMA, Stanford University. 2010年12月10日閲覧。

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