確率行列

確率行列とは

確率行列は、マルコフ連鎖の遷移確率を示す重要な正方行列で、すべての成分は非負の実数であり、確率を表します。さまざまな文脈で遷移行列、置換行列、マルコフ行列などとも呼ばれます。この概念は、20世紀初頭にアンドレイ・マルコフによって初めて提唱され、確率論、統計学、数理ファイナンス、線形代数学、計算機科学をはじめ、集団遺伝学などの多方面で応用されています。

定義と種類

確率行列には右確率行列、左確率行列、二重確率行列という種類があります。

• - 右確率行列: 各行の合計が1になる正方行列。
• - 左確率行列: 各列の合計が1になる正方行列。
• - 二重確率行列: 行列のすべての行と列の合計が1になる正方行列。

また、すべての成分が非負で合計が1となるベクトルを確率ベクトルと定義し、右確率行列の行や左確率行列の列はすべて確率ベクトルの性質を持ちます。

歴史

確率行列の概念は、アンドレイ・マルコフが発案し、初めて1906年に文献に記載されました。当初は言語分析やカードシャッフルのような数学的な問題に利用されるつもりでしたが、その後は広範囲にわたる他の分野でも極めて有用であることが認識されました。さらに、アンドレイ・コルモゴロフなどの学者による研究が進められ、連続時間マルコフ過程に適用できるように発展しました。

1950年代には、計量経済学や回路網解析における研究でも確率行列が利用され、1960年代には行動科学や地質学、都市計画といった多岐にわたる分野でその有用性が取り上げられました。1970年代以降は医療や人事労務管理、建築デザインなど、あらゆる分野で形式的な分析手法として確率行列が活用されるようになりました。

確率行列の性質

確率行列は有限個の状態空間Sにおけるマルコフ連鎖を記述します。状態iから状態jへの遷移確率をP_{i,j}とすると、確率行列Pは以下のように表されます。

$$
P = [
P_{1,1} & P_{1,2} & \\ … & P_{1,j} & … & P_{1,S} \\
P_{2,1} & P_{2,2} & … & P_{2,j} & … & P_{2,S} \\
… & … & … & … & … & … \\
P_{i,1} & P_{i,2} & … & P_{i,j} & … & P_{i,S} \\
… & … & … & … & … & … \\
P_{S,1} & P_{S,2} & … & P_{S,j} & … & P_{S,S} \\
]
$$

各状態からその次の状態への遷移確率の総和は1であり、これは次の式で表されます。

$$
ext{sum}_{j=1}^{S} P_{i,j} = 1
$$

この特性は、確率行列が右確率行列としての条件を満たすことを示しています。確率行列の累乗P^kもまた確率行列であり、これは状態遷移の継続的なプロセスを表します。マルコフ連鎖の定常状態に到達するためにはこの行列を繰り返し適用することが必要です。

具体例

例えば、「ネコとネズミ」のゲームを考えてみましょう。5つの箱の中にネコとネズミがそれぞれ異なる箱にいるとし、時間が進むごとに隣の箱にランダムに移動します。この状況はマルコフ連鎖として表現でき、遷移確率の行列Pを用いて状態間の移動を示すことができます。最終的には、ゲーム終了の状態に到達することが期待されます。

結論

確率行列はマルコフ連鎖の本質を捉え、さまざまな科学分野での分析や推定に欠かせない道具です。確率論や統計的手法を用いた研究や応用のために、確率行列の理解と活用がますます求められています。

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