等化子

数学における等化子（とうかし、英: equalizer, equaliser）は、複数の写像が同じ値を取るような、定義域に含まれる点（要素）すべてを集めた集合です。これは、ちょうど特定の方程式の解集合として現れるものと捉えることができます。

集合論的な定義

集合 X, Y と二つの写像 f, g: X → Y が与えられたとき、f と g の等化子 Eq(f, g) は、写像の値 f(x) と g(x) が Y において等しくなるような X の要素 x 全体からなる集合として定義されます。

記号では以下のように書かれます。


Eq(f, g) := {x ∈ X | f(x) = g(x)}


この定義は、二つに限らず、有限または無限個の写像に対しても一般化できます。X から Y への写像の任意の集まり $\mathcal{F}$ に対し、その等化子 Eq($\mathcal{F}$) は、$\mathcal{F}$ に属するどの二つの写像 f, g についても f(x) = g(x) となるような X の要素 x 全体からなる集合です。


Eq(F) := {x ∈ X | ∀f, g ∈ F, f(x) = g(x)}


$\mathcal{F}$ が単一の写像 {f} だけで構成される場合、等化子は定義域全体 X となります。これは f(x) が常に f(x) と等しいためです。また、$\mathcal{F}$ が空集合 ∅ の場合も、条件が自明に満たされるため、等化子は定義域全体 Eq(∅) = X となります。

差核

二つの写像 f, g の等化子は、差核（difference kernel）とも呼ばれることがあります。これは DiffKer(f,g) や Ker(f − g) といった記号で表されることがあり、特に Ker(f − g) という記法は、f と g の差写像 f − g の核（値がゼロになる要素の集合）として等化子を捉えることができる、という代数学的な文脈での考え方に由来しています。

さらに、一つの写像 f の核は、その写像と零写像（値が常にゼロである定値写像）の差核 Eq(f, 0) として再定式化することも可能です。これらの考え方は、写像の核がゼロの逆像として定義されるような抽象代数学の文脈で特に有用です。

圏論における等化子

等化子の概念は、集合の圏を超えて任意の圏に一般化することができます。これは普遍性という性質を用いて定義されます。圏論的な文脈では、X, Y は圏の対象、f, g: X → Y はそれらの間の射（写像のようなもの）となります。

f と g の等化子とは、ある対象 E と、E から X への射 eq の組 (E, eq) であって、以下の普遍性を満たすものです。

f ∘ eq = g ∘ eq であり、かつ、f ∘ m = g ∘ m を満たす任意の他の対象 O と射 m: O → X に対して、eq ∘ u = m となるような E への射 u: O → E が一意的に存在します。

つまり、等化子 eq は f と g を「等しくする」射の中で最も普遍的なものとして特徴づけられます。これは、特定の図式の極限としても定義できます。

この圏論的な定義も、二つ以上の射に対する等化子へ直接的に拡張可能です。

性質

任意の圏において、等化子として現れる射（eq: E → X）は必ず単型射（圏論的な単射）であることが示せます。
逆に、任意の単型射が適当な射集合の等化子と一致するような圏は正則（regular）であると呼ばれます。
前加法圏（例えばアーベル群の圏）においては、射の引き算が意味を持つため、差核 Eq(f, g) を文字通り差の核 Ker(f − g) として扱うことができます。
ファイバー積（引き戻し）と積を持つ圏ならば、必ず等化子も持ちます。
* 特に位相空間において、定義域 X が位相空間で値域 Y がハウスドルフ空間であり、f と g が連続写像である場合、等化子 Eq(f, g) は X の閉集合となります。

等化子は数学の様々な分野で現れる基本的な構成要素であり、集合論的なレベルだけでなく、より抽象的な圏論の視点からも重要な概念です。

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