結晶点群

結晶点群：結晶の対称性を解き明かす鍵

結晶点群とは、結晶が持つ対称性を数学的に表現したものです。具体的には、結晶構造において許される対称操作（回転、鏡映など）の集合であり、群論という数学の枠組みを用いて記述されます。重要な点は、この対称操作には、結晶構造を周期的に並進移動させる操作は含まれないということです。

結晶は、原子や分子が規則正しく配列した構造をしています。この規則的な配列は、様々な対称性を生み出します。例えば、立方体の塩化ナトリウム結晶は、複数の回転軸や鏡面を持ちます。これらの対称性は、結晶の物理的性質（光学特性、電気的特性など）に大きな影響を与えます。

結晶点群は、有限個の対称操作から成る群です。そして、結晶構造の周期性から、許される回転操作は1回、2回、3回、4回、6回回転に限定されます。これは結晶学的制限定理として知られています。5回以上の回転対称性を持つ結晶は存在しないのです。これは、無限に広がる結晶構造を維持するためには、こうした制限が不可欠であることを示しています。

分子と結晶の点群：違いはどこに？

点群は、分子などの有限サイズの対象の対称性を記述する際にも用いられます。しかし、結晶のように無限に続く周期構造に適用する場合、前述のように回転軸の種類に制限が生じる点が大きく異なります。例えば、正二十面体のような分子は5回回転軸を持つことができますが、結晶ではそのような対称性は許されません。

空間群と結晶点群：密接な関係

空間群は、結晶の全ての対称操作（回転、鏡映、並進）を含む群です。一方、結晶点群は、空間群から並進操作を除いた部分群です。数学的には、空間群Gの並進操作のみからなる部分群Tは正規部分群であり、商群G/Tは結晶点群と同型となります。つまり、空間群から並進操作による影響を取り除くと、結晶点群が得られるという関係にあります。

結晶点群の表記法：シェーンフリース記号とヘルマン・モーガン記号

結晶点群は、様々な記号を用いて表されます。

シェーンフリース記号: 物理化学で広く用いられる記号体系です。Cn（n回回転軸）、Cnh、Cnv、S2n（2n回回映軸）、Dn（n回回転軸とn個の2回回転軸）、Dnh、Dnd、T（四面体）、Td、Th、O（八面体）、Ohといった記号を用います。
ヘルマン・モーガン記号: 鉱物学や結晶学でよく使われます。より簡潔な表記で、結晶点群だけでなく空間群にも用いられます。

シェーンフリース記号において、D4dやD6dのような記号は、実際には存在し得ない組み合わせを表します。全ての結晶点群は、上記記号を用いて32種類に分類されます。

結晶点群の重要性

結晶点群は、結晶の対称性を理解する上で不可欠な概念です。結晶の物理的性質、化学的性質、さらには結晶の成長過程を理解する上でも、重要な役割を果たします。結晶のX線回折パターンを解析する際にも、結晶点群の知識は必須となります。結晶点群は、結晶学、鉱物学、物理学、材料科学など、様々な分野で活用されています。

参考文献

柳瀬章『空間群のプログラム TSPACE』裳華房、1995年
犬井鉄郎、田辺行人、小野寺嘉孝『応用群論―群表現と物理学―』裳華房、1980年

関連項目

3次元における点群
結晶学的制限定理

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