群上の加群

G-加群の概要

数学において、G-加群は、群 G の作用を持つアーベル群 M のことを指します。この概念は群の表現に広く利用されており、群コホモロジーの研究においても不可欠な役割を果たします。また、G-加群は、線形的な作用を持つ R-加群にまで一般化されることがあります。

定義と基本的な性質

まず、G を群とし、アーベル群 M を考えます。左 G-加群、または左 G-加群は、次の条件を満たす群作用 ρ: G × M → M を持つもので定義されます。すなわち、任意の g ∈ G と a, b ∈ M に対して、次の式が成り立ちます。

$$
g ullet (a + b) = g ullet a + g ullet b \\ ext{（ここで } g ullet a :=
ho(g, a) ext{）}
$$

このように定義された左 G-加群に対し、右 G-加群や G-右加群は、右からの群作用に基づいて同様の手法で定義されます。特に、左 G-加群 M において、G の右からの作用は次のように定義できます。

$$
a ullet g := g^{-1} ullet a
$$

写像 f: M → N が G-加群の準同型、または G-線型写像と呼ばれるのは、f が G-同変な群準同型である場合です。また、左 G-加群と G-準同型の全体を集めると、アーベル圏 G-Mod が得られます。さらに、右からの作用を考えると、Mod-G という圏が形成されます。

G-部分加群と剰余加群

G-加群 M の部分 G-加群、あるいは G-部分加群は、群 G の作用に対して不変である部分加群 A ⊆ M を指します。すなわち、任意の g ∈ G に対し、次の式が成り立つ必要があります。

$$
g ullet a ext{ が A に属すること、すなわち } g ullet a ext{ が A に含まれる}
$$

このように、上記の条件を満たす部分加群があるとき、それにより定義された商 G-加群、または G-商加群は、次のように表されます。

$$
g ullet (m + A) := g ullet m + A
$$

ここでは、剰余群 M/A に G の作用が加わっています。

具体例

特定の例として、任意の群 G に対し、アーベル群 Z は、自明な作用 g·a = a によって G-加群に分類されます。また、M を Z 上の二変数二次形式 f(x, y) = ax^2 + 2bxy + cy^2（ここで a, b, c は有理数）の全体とし、G を Z 上の二次特殊線型群 SL(2, Z) とします。この場合、M は G-加群として機能します。

さらに、V が G の体 K 上の表現の場合、V も G-加群として扱うことができます。これらの例を通じて、G-加群の概念が幅広く適用可能であることが分かります。

位相群上の加群

特に、G が位相群であり、M が位相アーベル群であるとき、M が位相 G-加群であるためには、M が G-加群であり、G × M の直積位相における作用が連続である必要があります。これにより、位相的性質を持つ加群が定義され、より多様な数学的枠組みで利用されることになります。

このように、G-加群という概念は、群の作用とアーベル群の加法構造が交わる重要な対象であり、多くの数学の分野で利用されています。

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